InterpolateRoot
FunctionApproximations`
FunctionApproximations`
InterpolateRoot
InterpolateRoot[lhs==rhs,{x,x0,x1}]
x の最初の2つの値として x0と x1を使い，方程式 lhs==rhs の数値解を求める．
詳細とオプション
- InterpolateRootを使うためには，まず関数近似パッケージをロードしなくてはならない．それにはNeeds["FunctionApproximations`"]を実行する必要がある．
- InterpolateRootは形式 x->sol の規則として解を与える．
- InterpolateRoot[expr,{x,x0,x1}]は方程式 expr==0の根を探索する．
- InterpolateRootは最後の4つのデータ点の逆3次補間を使い，解を探索する．これは導関数情報を使わない．
- 解が重根のとき，InterpolateRootは非常に遅い．
- InterpolateRootはFindRootほどロバストではない．しかし，根の位置がおおよそ分かっており，関数の各評価が高価で，高精度が望まれる場合には便利である．
- 方程式と初期値が実数ならば，InterpolateRootは実根のみを探す．そうでない場合は複素根を探す．
- 次のオプションを与えることができる：
-
AccuracyGoal Automatic 目標確度 MaxIterations 15 使用する反復の最大回数 ShowProgress False 進行状況を監視するかどうか WorkingPrecision 40 内部計算で使用する精度 - AccuracyGoalの設定とは，根での残余の大きさではなく根の確度を言う．
- 内部計算で使用される精度の範囲は通常，初めは機械精度より少し高めで，最後はWorkingPrecisionの設定となる．
- WorkingPrecisionの設定は所望のAccuracyGoalに達するために超過してもよい．
- InterpolateRootがMaxIterationsステップ内に所望の確度での解を見付けられなかった場合，最後に見付かった近似を返す．
- ShowProgress->Trueでは，InterpolateRootは{accuracy,x}に続き{precision,extraprecision,delta}を出力する．以下を参照：
-
accuracy 現在の解の近似の推定確度 x 現在の解の近似 precision 現在の作業精度 extraprecision 使用されている精度の追加桁数 delta 次の反復での近似の予想される変更
例題
すべて開く すべて閉じる例 (1)
スコープ (2)
Needs["FunctionApproximations`"]InterpolateRootは複素根を求めることができる：
InterpolateRoot[Exp[x] + 2 == 0, {x, 1 + 3I, 2 + 4I}]Exp[x] + 2 == 0 /. %Needs["FunctionApproximations`"]InterpolateRoot[Sin[x], {x, 3, 4}]アプリケーション (1)
Needs["FunctionApproximations`"]リーマン(Riemann)予想によると，関数Zeta[z]の零点はすべて複素平面の
線上にある．次は最初のいくつかの零点である．
InterpolateRoot[Zeta[z], {z, .5 + # I, .5 + (# + 1)I}]& /@ {14, 21, 25}Zeta関数を評価する関数を定義し，カウンタを増加させる：
g[z_ ? NumericQ] := (n++;Zeta[z])
n = 0;InterpolateRoot[g[z], {z, .5 + 14I, .5 + 15I}, WorkingPrecision -> 400]//Timingn割線法でFindRootを使う：
Block[{s = 0, n = 0},
soln = FindRoot[Zeta[z], {z, .5 + 14I, .5 + 15I},
WorkingPrecision -> 400,
StepMonitor :> s++,
EvaluationMonitor :> n++];
Print[s, "ステップで", n, "回の関数評価"];
soln]//Timing
ニュートン法でFindRootを使う：
Block[{s = 0, n = 0},
soln = FindRoot[Zeta[z], {z, (1/2) + 14.I},
WorkingPrecision -> 400,
StepMonitor :> s++,
EvaluationMonitor :> n++];
Print[s, "ステップで", n, "回の関数評価"];
soln]//Timing