FunctionApproximations`
FunctionApproximations`

InterpolateRoot

InterpolateRoot[lhs==rhs,{x,x0,x1}]

x の最初の2つの値として x0と x1を使い，方程式 lhs==rhs の数値解を求める．

詳細とオプション

  • InterpolateRootを使うためには，まず関数近似パッケージをロードしなくてはならない．それにはNeeds["FunctionApproximations`"]を実行する必要がある．
  • InterpolateRootは形式 x->sol の規則として解を与える．
  • InterpolateRoot[expr,{x,x0,x1}]は方程式 expr==0の根を探索する．
  • InterpolateRootは最後の4つのデータ点の逆3次補間を使い，解を探索する．これは導関数情報を使わない．
  • 解が重根のとき，InterpolateRootは非常に遅い．
  • InterpolateRootはFindRootほどロバストではない．しかし，根の位置がおおよそ分かっており，関数の各評価が高価で，高精度が望まれる場合には便利である．
  • 方程式と初期値が実数ならば，InterpolateRootは実根のみを探す．そうでない場合は複素根を探す．
  • 次のオプションを与えることができる：
  • AccuracyGoalAutomatic目標確度
    MaxIterations15使用する反復の最大回数
    ShowProgressFalse進行状況を監視するかどうか
    WorkingPrecision40内部計算で使用する精度
  • AccuracyGoalの設定とは，根での残余の大きさではなく根の確度を言う．
  • 内部計算で使用される精度の範囲は通常，初めは機械精度より少し高めで，最後はWorkingPrecisionの設定となる．
  • WorkingPrecisionの設定は所望のAccuracyGoalに達するために超過してもよい．
  • InterpolateRootがMaxIterationsステップ内に所望の確度での解を見付けられなかった場合，最後に見付かった近似を返す．
  • ShowProgress->Trueでは，InterpolateRootは{accuracy,x}に続き{precision,extraprecision,delta}を出力する．以下を参照：
  • accuracy現在の解の近似の推定確度
    x現在の解の近似
    precision現在の作業精度
    extraprecision使用されている精度の追加桁数
    delta次の反復での近似の予想される変更

例題

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例  (1)

検証する：

スコープ  (2)

InterpolateRootは複素根を求めることができる：

検証する：

式 expr は expr==0と解釈される：

アプリケーション  (1)

リーマン(Riemann)予想によると，関数Zeta[z]の零点はすべて複素平面の線上にある．次は最初のいくつかの零点である．

Zeta関数を評価する関数を定義し，カウンタを増加させる：

付近の根の実部を400桁まで検証する：

必要な関数評価（とステップ）の数：

割線法でFindRootを使う：

ニュートン法でFindRootを使う：

考えられる問題  (1)

重根の収束は遅い：