ItoProcess

ItoProcess[{a,b},x,t]

伊藤過程を表す．ただし，である．

ItoProcess[{a,b,c},x,t]

伊藤過程を表す．ただし，である．

ItoProcess[…,{x,x₀},{t,t₀}]

初期条件を使う．

ItoProcess[…,…,…,Σ]

共分散 Σ のウィナー(Wiener)過程を使用する．

ItoProcess[proc]

可能な場合は常に proc を標準伊藤過程に変換する．

ItoProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

確率微分方程式 sdeqns，出力式 expr，状態 x，時間 t で指定され，過程 dproc に従う w によって駆動される伊藤過程を表す．

詳細とオプション

ItoProcessは伊藤拡散あるいは確率微分方程式としても知られている．
ItoProcessは連続時間・連続状態のランダム過程である．
ドリフト a が次元ベクトルで拡散 b が × 次元行列の場合，過程は次元で次元WienerProcessによって駆動される．
係数 a および b によく使われる指定
a スカラー，b スカラー

a スカラー，b ベクトル

a ベクトル，b ベクトル

a ベクトル，b 行列
確率微分方程式は積分方程式として書かれることもある．
デフォルトの初期時間 t₀ は0であるとみなされる．デフォルトの初期状態 x₀ は0である．
デフォルトの共分散 Σ は恒等行列である．
一般共分散 Σ については，ItoProcessは拡散行列 b を b.Σ^1/2に変換することで過程を正規化する．Σ^1/2は可能な場合は Σ の下コレスキー因子である． »
標準伊藤過程は，微分状態の部分集合からなる出力を持つ．
標準ItoProcess形式に変換できる過程 proc には，OrnsteinUhlenbeckProcess，GeometricBrownianMotionProcess，StratonovichProcess，ItoProcessが含まれる．
ItoProcessを標準形式に変換するためには，伊藤の補助定理が自動的に使われる．
sdeqns における確率微分方程式はの形式を取ることができる，ここで，は \[DifferentialD]であり，ddを使って入力することができる．微分とは伊藤微分であると解釈される．
出力式 expr は x[t] と t を含む任意の式でよい．
駆動する過程 dproc は標準伊藤過程に変換できる任意の過程でよい．
次は，ItoProcessの関連特性である．

	"Drift"	ドリフト項
	"Diffusion"	拡散行列
	"Output"	出力状態
	"TimeVariable"	時間変数
	"TimeOrigin"	時間変数の原点
	"StateVariables"	状態変数
	"InitialState"	初期状態値
	"KolmogorovForwardEquation"	Kolmogorov前進方程式（Fokker-Planckの方程式）
	"KolmogorovBackwardEquation"	Kolmogorov後退方程式
	"Derivative"	伊藤導関数
	"FeynmanKacFormula"	Feynman-Kacの公式から得られた偏微分方程式

ItoProcessに特有のRandomFunctionにおけるMethod設定　 »

	"EulerMaruyama"	オイラー・丸山（次数1/2，デフォルト）
	"KloedenPlatenSchurz"	Kloeden–Platen–Schurz（次数3/2）
	"Milstein"	Milstein（次数1）
	"StochasticRungeKutta"	3段階Rossler SRKスキーム（次数1）
	"StochasticRungeKuttaScalarNoise"	スカラーノイズのための3段階Rossler SRKスキーム（次数3/2）

ItoProcessは，RandomFunction，CovarianceFunction，PDF，Expectation等の関数で使うことができる．

例題

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例 (1)

過程をその確率微分方程式で定義する：

過程のシミュレーションを行う：

平均値関数を計算する：

共分散関数を計算する：

スコープ (19)

基本的な用法 (10)

確率微分方程式からのドリフトと拡散でウィナー過程を定義する：

パラメトリック過程から直接変換する：

過程を定義する．ただし，である：

微分表記を使って同じ過程を定義する：

ベクトル過程を出力で定義する：

微分表記を使う：

ベクトル過程を定義する．ただし，である：

微分表記を使う：

ベクトル過程を定義する．ただし，である：

微分表記を使う：

相関する2つのウィナー過程で駆動される過程を定義する：

正規化された過程はと等しい拡散行列を持つ．は正規化前の拡散行列である：

確率微分方程式に対応するスカラー過程を定義する：

確率微分方程式およびに対応するベクトル過程およびを定義する：

2D相関ウィナー過程に相当する過程を定義する：

2D相関ウィナー過程に駆動されるベクトル過程を定義する：

さまざまなメソッドでItoProcessの経路のシミュレーションを行う：

シミュレーションメソッドと対応する次数：

シミュレーションメソッドをRandomFunctionのオプションとして指定する：

過程特性の抽出 (2)

伊藤過程をその確率微分方程式で定義する：

伊藤過程の使用可能な特性：

過程のドリフトと拡散：

Kolmogorov前進方程式：

ここではInactiveを使って偏導関数の展開を防いでいる．Activateを使って式を展開する：

Kolmogorov後退方程式：

関数の伊藤導関数を計算する．出力はドリフト項と拡散項からなるリストである：

特性"FeynmanKacFormula"は，解が条件付き期待値と終端条件を満足する偏微分方程式を与える：

一般化された状態には追加的な引数を与えることができる．特性"FeynmanKacFormula"は，追加引数を与えられると解が条件付き期待値と同じ終端条件を満足する偏微分方程式を与える：

特性"FeynmanKacFormula"は，第3引数があると解が条件付き期待値と同じ終端条件を満足する偏微分方程式を与える：

ItoProcessでHestonモデルを定義する：

ドリフト：

（正規化後の）拡散行列：

Kolmogorov前進方程式：

Kolmogorov後退方程式：

伊藤導関数の公式：

特殊伊藤過程 (5)

WienerProcessに対応する伊藤過程：

GeometricBrownianMotionProcessに対応する伊藤過程：

BrownianBridgeProcessに対応する伊藤過程：

OrnsteinUhlenbeckProcessに対応する伊藤過程：

CoxIngersollRossProcessに対応する伊藤過程：

過程スライス特性 (2)

ヤコビの拡散過程を定義する：

時間スライス分布の低次数キュムラントを計算する：

無限時間枠の極限を求める：

一様分布のキュムラントと比較する：

線形確率微分方程式の系で与えられたベクトル過程を定義する：

時間スライス分布の確率密度関数を求める：

との相互共分散を計算する：

無限時間範囲極限はのときにのみ存在する：

アプリケーション (11)

計算特性 (3)

Ornstein–Uhlenbeck過程ともとになっているウィナー過程の相互共分散を計算する：

過程のモーメントを計算する．ただし，は標準ウィナー過程である：

スカラーノイズに駆動されたベクトル伊藤過程（ホワイトノイズに駆動された1D振動子）：

過程経路のシミュレーションを行う：

平均値関数と分散関数を計算する：

平均値関数と標準偏差帯を生成された経路とともにをプロットする：

マルチンゲール (3)

過程がマルチンゲールであるとの値を決定する．ただし，は標準ウィナー過程である：

標準形式に変換する：

標準形式のゼロドリフト係数は，がマルチンゲールになるための必要条件である：

ベクトルWiener過程に駆動されたスカラー伊藤過程：

同じ過程を確率方程式によって定義する：

2つのWiener過程によって駆動されたスカラー過程を構築する：

の二次変動：

Lévy条件によると，はブラウン運動である．過程の平均は初期状態に等しい：

モデリング (2)

熱変動の影響下での自由粒子のダイナミクスは，Langevin運動方程式によってモデル化できる．ここでは標準のWienerProcessであり，は熱ノイズの強度である．ここでは，はにのみ依存し，速度の方程式に焦点を当てることができると想定されている．運動方程式の統合には，伊藤定式化とStratonovich定式化という一般的な2つの方法があるが，それらは次の方法で定義できる：