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ItoProcess

ItoProcess[{a,b},x,t]

表示伊藤 (Ito) 过程，其中 .

ItoProcess[{a,b,c},x,t]

表示伊藤过程，其中 .

ItoProcess[…,{x,x₀},{t,t₀}]

使用初始条件 .

ItoProcess[…,…,…,Σ]

使用维纳过程，其中协方差为 Σ.

ItoProcess[proc]

在可能的情况下，将 proc 转化为标准伊藤过程.

ItoProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

表示由随机微分方程 sdeqns、输出表达式 expr 指定的伊藤过程，其中状态为 x，时间为 t，由遵循过程 dproc 的 w 驱动.

ItoProcess

ItoProcess[{a,b},x,t]

表示伊藤 (Ito) 过程，其中 .

ItoProcess[{a,b,c},x,t]

表示伊藤过程，其中 .

ItoProcess[…,{x,x₀},{t,t₀}]

使用初始条件 .

ItoProcess[…,…,…,Σ]

使用维纳过程，其中协方差为 Σ.

ItoProcess[proc]

在可能的情况下，将 proc 转化为标准伊藤过程.

ItoProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

表示由随机微分方程 sdeqns、输出表达式 expr 指定的伊藤过程，其中状态为 x，时间为 t，由遵循过程 dproc 的 w 驱动.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

根据随机微分方程定义过程：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[ⅆx[t] == -x[t]ⅆt + Sqrt[1 + x[t] ^ 2]ⅆw[t], x[t], {x, 1}, t, wWienerProcess[]]

模拟过程：

Wolfram Language code: RandomFunction[proc, {0., 5., 0.01}]

Wolfram Language code: ListLinePlot[%, Filling -> Axis]

计算均值函数：

Wolfram Language code: Mean[proc[t]]

计算协方差函数：

Wolfram Language code: CovarianceFunction[proc, s, t]

Wolfram Language code: Plot3D[%, {s, 0, 5}, {t, 0, 5}, ColorFunction -> "Rainbow"]

范围 (19)

基本用途 (10)

从随机微分方程（SDE）定义 Wiener 过程，其中 drift 为和扩散率为：

Wolfram Language code: ItoProcess[{μ, σ}, {x, 0}, t]

直接从参数化过程转化：

Wolfram Language code: ItoProcess[WienerProcess[μ, σ]]

定义过程，其中 :

Wolfram Language code: ItoProcess[{μ, σ, c[x[t]]}, {x, 0}, t]

使用微分记号来定义相同的过程：

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == μ ⅆt + σ ⅆw[t], c[x[t]], {x, 0}, t, wWienerProcess[]]

定义向量过程，其中输出为 :

Wolfram Language code: ItoProcess[{{v, -x}, {0, 1}, x}, {{x, v}, {x0, v0}}, {t, 0}]

使用微分记号：

Wolfram Language code: ItoProcess[{ⅆx[t] == v[t] ⅆt, ⅆv[t] == -x[t]ⅆt + ⅆw[t]}, x[t], {{x, v}, {x0, v0}}, t, wWienerProcess[]]

定义向量过程，其中 :

Wolfram Language code: ItoProcess[{μ, σ, {x, x ^ 2}}, {x, 0}, t]

使用微分记号：

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == μⅆt + σ ⅆw[t], {x[t], x[t] ^ 2}, {x, 0}, t, wWienerProcess[]]

定义向量过程其中 :

Wolfram Language code: ItoProcess[{{y, -x}, {{1, 0}, {0, 1}}}, {{x, y}, {0, 0}}, t]

使用微分记号：

Wolfram Language code:

ItoProcess[{ⅆx[t] == y[t]ⅆt + ⅆw1[t], ⅆy[t] == -x[t]ⅆt + ⅆw2[t]}, {x[t], y[t]}, {{x, y}, {0, 0}}, t, {w1WienerProcess[], w2WienerProcess[]}]

定义由两个相关 Wiener 过程驱动的过程：

Wolfram Language code: Σ = {{1, 3 / 5}, {3 / 5, 1}};

Wolfram Language code:

b = {{Subscript[σ, 1], Subscript[σ, 2]}};
proc = ItoProcess[{{1 - x[t]}, b, x[t]}, {{x}, {1 / 2}}, {t, 0}, Σ]

规范化过程具有等于的扩散矩阵，其中是规范化前的扩散矩阵：

Wolfram Language code: bnew = proc[[1, 2]]

Wolfram Language code: bnew == b.CholeskyDecomposition[Σ]

定义标量过程对应于 SDE :

Wolfram Language code:

ItoProcess[ⅆx[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 2][t], x[t], {x, 0}, t, {Subscript[w, 1]WienerProcess[], Subscript[w, 2]WienerProcess[]}]

定义向量过程和对应于 SDE 和 :

Wolfram Language code:

ItoProcess[{ⅆx[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 2][t], ⅆy[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 1][t]}, {x[t], y[t]}, {{x, y}, {0, 0}}, t, {Subscript[w, 1]WienerProcess[], Subscript[w, 2]WienerProcess[]}]

定义对应于二维相关 Wiener 过程的过程：

Wolfram Language code:

noise𝒫[σ1_, σ2_, ρ_] = Refine[ItoProcess[{{0, 0}, {{σ1, 0}, {0, σ2}}}, {{w1, w2}, {0, 0}}, t, {{1, ρ}, {ρ, 1}}], -1 < ρ < 1];

定义由相关二维 Wiener 过程驱动的向量过程：

Wolfram Language code:

ItoProcess[{ⅆs[t] == μ s[t]ⅆt + Sqrt[r[t]]s[t]ⅆn1[t], ⅆr[t] == θ(μ - r[t])ⅆt + Sqrt[r[t]]ⅆn2[t]
	}, {s[t], r[t]}, {{s, r}, {s0, r0}}, t, {n1, n2}noise𝒫[Subscript[σ, 1], Subscript[σ, 2], ρ]]

用不同的方法模拟 ItoProcess 的路径：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[{ⅆx[t] == v[t]ⅆt, ⅆv[t] == -x[t]ⅆt + ⅆn[t]}, x[t], {{x, v}, {1, 0}}, t, nWienerProcess[]]

模拟方法及其对应的阶数：

Wolfram Language code:

methods = {"EulerMaruyama", "Milstein", "StochasticRungeKutta", "KloedenPlatenSchurz", "StochasticRungeKuttaScalarNoise"};

Wolfram Language code: orders = {"order 1/2", "order 1", "order 1", "order 3/2", "order 3/2"};

用 RandomFunction 中的选项指定模拟方法：

Wolfram Language code: paths = Table[RandomFunction[proc, {0., 2. Pi, 0.05}, 6, Method -> m], {m, methods}];

Wolfram Language code:

Grid[Partition[MapThread[ListLinePlot[#1, PlotLabel -> Column[{#2, #3}], ImageSize -> 160]& , {paths, methods, orders}], UpTo[3]], Spacings -> 2]

过程属性提取 (2)

用随机微分方程定义一个伊藤过程：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[ⅆx[t] == (μ - x[t])ⅆt + Sqrt[1 + x[t] ^ 2]ⅆw[t], x[t], {x, 1}, t, wWienerProcess[]]

可用的伊藤过程属性：

Wolfram Language code: proc["Properties"]

漂移和扩散的过程：

Wolfram Language code: proc /@ {"Drift", "Diffusion"}

柯尔莫哥洛夫前向方程：

Wolfram Language code: proc["KolmogorovForwardEquation"]//TraditionalForm

此处使用 Inactive 来避免扩展偏导数；使用 Activate 来扩展表达式：

Wolfram Language code: Activate[%]//TraditionalForm

柯尔莫哥洛夫后向方程：

Wolfram Language code: proc["KolmogorovBackwardEquation"]//TraditionalForm

计算函数的伊藤导数. 输出是一个由漂移和扩散项组成的列表：

Wolfram Language code: {mu, sig} = proc["Derivative", f[x[t], t]];

Wolfram Language code: TraditionalForm[mu]

Wolfram Language code: TraditionalForm[sig]

属性 "FeynmanKacFormula" 给出了一个偏微分方程，其解满足条件期望和终止条件：

Wolfram Language code: proc["FeynmanKacFormula"]//TraditionalForm

对于广义情况，可以提供额外的论据. 有了额外的参数后，"FeynmanKacFormula" 属性可给出一个偏微分方程，其解决方案满足条件期望和相同的终止条件：

Wolfram Language code: proc["FeynmanKacFormula", α[x, t]]//TraditionalForm

使用第三个参数，属性 "FeynmanKacFormula" 会给出偏微分方程，其解满足条件期望和相同的终止条件：

Wolfram Language code: proc["FeynmanKacFormula", α[x, t], β[x, t]]//TraditionalForm

使用 ItoProcess 定义 Heston 模型:

Wolfram Language code:

heston = ItoProcess[{{μ S[t], κ(θ - ν[t])}, {{ν[t]^1 / 2S[t], 0}, {0, σ ν[t]^1 / 2}}}, {{S, ν}, {Subscript[S, 0], Subscript[ν, 0]}}, t, {{1, 1 / 2}, {1 / 2, 1}}]

漂移：

Wolfram Language code: heston["Drift"]

扩散矩阵（规范化后）：

Wolfram Language code: heston["Diffusion"]

柯尔莫哥洛夫前向方程：

Wolfram Language code: heston["KolmogorovForwardEquation"]//TraditionalForm

柯尔莫哥洛夫后向方程：

Wolfram Language code: heston["KolmogorovBackwardEquation"]//TraditionalForm

伊藤导数公式：

Wolfram Language code: {mu, sig} = heston["Derivative", f[S[t], ν[t], t]];

Wolfram Language code: mu//TraditionalForm

Wolfram Language code: sig//TraditionalForm

特殊 Ito 过程 (5)

对应于 WienerProcess 的伊藤过程:

Wolfram Language code: ItoProcess[WienerProcess[μ, σ]]

对应于 GeometricBrownianMotionProcess 的伊藤过程:

Wolfram Language code: ItoProcess[GeometricBrownianMotionProcess[μ, σ, x0]]

对应于 BrownianBridgeProcess 的伊藤过程:

Wolfram Language code: ItoProcess[BrownianBridgeProcess[σ, {Subscript[t, 1], a}, {Subscript[t, 2], b}]]

对应于 OrnsteinUhlenbeckProcess 的伊藤过程:

Wolfram Language code: ItoProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, x0]]

对应于 CoxIngersollRossProcess 的伊藤过程:

Wolfram Language code: ItoProcess[CoxIngersollRossProcess[μ, σ, θ, x0]]

过程切片属性 (2)

定义雅克比扩散过程：

Wolfram Language code:

Jacobi𝒫[x0_] := ItoProcess[ⅆx[t] == (1 / 2 - x[t])ⅆt + Sqrt[x[t](1 - x[t])]ⅆw[t], x[t], {x, x0}, t, wWienerProcess[]]

计算时间切片分布的低阶累积量：

Wolfram Language code: Table[Cumulant[Jacobi𝒫[x0][t], r], {r, 1, 4}]

求无穷时间区间的极限：

Wolfram Language code: Limit[%, t -> ∞]

与均匀分布的累积量比较：

Wolfram Language code: Table[Cumulant[UniformDistribution[], r], {r, 1, 4}]

定义由线性 SDE 系统给出的向量过程：

Wolfram Language code:

proc[{σ1_, σ2_}, {x0_, y0_}] = ItoProcess[ⅆx[t] == -(x[t] + y[t])ⅆt + σ1 ⅆw[t] && ⅆy[t] == -2x[t]ⅆt + σ2ⅆw[t], {x[t], y[t]}, {{x, y}, {x0, y0}}, t, wWienerProcess[]]

求时间切片分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[proc[{1, -1}, {1 / 2, -1 / 4}][t], {x, y}]

计算和的交叉协方差：

Wolfram Language code: cov = Covariance[proc[{Subscript[σ, 1], Subscript[σ, 2]}, {x0, y0}][t], 1, 2]

仅当时无穷时间区间极限存在：

Wolfram Language code: Collect[cov, E ^ _, Simplify]

应用 (11)

计算属性 (3)

计算 Ornstein‐Uhlenbeck 过程的交叉协方差和它的内在 Wiener 过程 :

Wolfram Language code: joint𝒫 = ItoProcess[ⅆx[t] == θ(μ - x[t])ⅆt + σ ⅆw[t], {x[t], w[t]}, {x, x0}, t, wWienerProcess[]]

Wolfram Language code: Covariance[joint𝒫[t], 1, 2]

计算过程的矩，其中是标准 Wiener 过程：

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == w[t] ^ 2ⅆt, x[t], {x, 0}, t, wWienerProcess[]]

Wolfram Language code: Table[Moment[%[t], r], {r, 0, 8}]

由标量噪声驱动的向量伊藤过程（由白噪声驱动的一维振动器）：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[{ⅆx[t] == v[t]ⅆt, ⅆv[t] == -x[t]ⅆt + ⅆn[t]}, x[t], {{x, v}, {1, 0}}, t, nWienerProcess[]]

模拟过程路径：

Wolfram Language code: path = RandomFunction[proc, {0., 2. Pi, 0.05}, 12, Method -> "StochasticRungeKutta"];

Wolfram Language code: ListLinePlot[path]

计算均值和方差函数：

Wolfram Language code: mf[t_] = Mean[proc[t]]

Wolfram Language code: vf[t_] = Simplify[Variance[proc[t]]]

绘制均值函数和标准差带，以及生成的路径：

Wolfram Language code:

Show[Plot[{mf[t] - Sqrt[vf[t]], mf[t] + Sqrt[vf[t]], mf[t]}, {t, 0, 2Pi}, Filling -> {1 -> {2}}], ListLinePlot[path], PlotRange -> All]

鞅 (Martingales) (3)

确定和的值，以满足过程是 martingale，其中是标准 Wiener 过程：

Wolfram Language code: x𝒫 = ItoProcess[{0, 1, Exp[α w[t] + β t]}, {w, 0}, t]

转为为标准格式：

Wolfram Language code: st𝒫 = ItoProcess[x𝒫]

标准格式的零偏移系数是 martingale 的必要条件：

Wolfram Language code: Reduce[st𝒫[[1, 1]] == 0, {α, β}]

由矢量维纳过程驱动的标量伊藤过程：

Wolfram Language code: ItoProcess[{0, {1, 1, 1}}, {x, 0}, {t, 0}]

通过随机方程定义同一过程：

Wolfram Language code:

ItoProcess[ⅆx[t] == ⅆw1[t] + ⅆw2[t] + ⅆw3[t], x[t], {x, 0}, t, {w1WienerProcess[], w2WienerProcess[], w3WienerProcess[]}]

构建一个由两个维纳过程驱动的标量过程：

Wolfram Language code:

proc1 = ItoProcess[ⅆx[t] == (w1[t]/Sqrt[w1[t]^2 + w2[t]^2])ⅆw1[t] + (w2[t]/Sqrt[w1[t]^2 + w2[t]^2])ⅆw2[t], x[t], {x, x0}, t, {w1WienerProcess[], w2WienerProcess[]}]

的二次方变化：

Wolfram Language code: Integrate[Simplify[#.#&[proc1["Derivative", x[t]][[2, 1]]]], {t, 0, t}]

通过列维 (Lévy) 表征，是布朗运动. 该过程的均值与初始状态相同：

Wolfram Language code: Mean[proc1[t]]

建模 (2)

自由粒子在热涨落作用下的动力学可以用朗之万运动方程建模，，其中是标准的 WienerProcess，是热噪声的强度. 这里假设只能取决于并专注于速度方程. 积分运动方程的常用方法有两种：伊藤公式和斯特拉托诺维奇公式. 可以通过以下方式定义：

Wolfram Language code: ito = ItoProcess[ⅆv[t] == -v[t]ⅆt + σ[v[t]]ⅆb[t], v[t], {v, vi}, t, bWienerProcess[]];

Wolfram Language code: str = StratonovichProcess[ⅆv[t] == -v[t]ⅆt + σ[v[t]]ⅆb[t], v[t], {v, vs}, t, bWienerProcess[]];

当为常数时，这两个公式是相同的，并导致当时相同的平稳分布：

Wolfram Language code: Limit[PDF[ito[t] /. {σ[v[t]] -> Sqrt[2]σ1}, v]//Simplify, t -> Infinity]

Wolfram Language code: Limit[PDF[str[t] /. {σ[v[t]] -> Sqrt[2]σ1}, v]//Simplify, t -> Infinity]

如果与速度有关，则由于 WienerProcess 的性质，具有非零二次变化，且两个公式会导致不同的结果. 将斯特拉托诺维奇公式转换为等效的伊藤公式：

Wolfram Language code: istr = ItoProcess[str]

使用斯特拉托诺维奇公式下的漂移与使用伊藤公式下的漂移不同：

Wolfram Language code: ito["Drift"]

Wolfram Language code: istr["Drift"]

Gompertz 曲线通常被用于模拟生长过程，比如肿瘤的生长. 通过假设生长过程的对数中的高斯噪声，可以把模型写成随机微分方程：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[ⅆX[t] == -α Exp[-α t]Log[X0 / K]X[t]ⅆt + σ X[t]ⅆW[t], X[t], {X, X0}, t, WWienerProcess[]]

过程的平均是常见的 Gompertz 曲线：

Wolfram Language code: Mean[proc[t]]

过程在时间的切片分布服从 LogNormalDistribution：

Wolfram Language code: PDF[proc[t], x]

，从到时，对过程进行模拟：

Wolfram Language code: proc1 = proc /. {X0 -> 1, K -> 2, σ -> 0.1, α -> 0.3};

Wolfram Language code: sample = RandomFunction[proc1, {0, 10, 0.01}];

可视化抽样路径：

Wolfram Language code: ListLinePlot[sample, Filling -> Axis]

产生同样条件下的一千个样本，然后可视化路径并在对数据进行切片：

Wolfram Language code: samples = RandomFunction[proc1, {0, 10, 0.1}, 1000];

Wolfram Language code:

GraphicsRow[{ListLinePlot[samples, ImageSize -> 250, PlotRange -> All, 
	AspectRatio -> 3 / 4, BaseStyle -> Directive[Thin, Opacity[0.5]], PlotRangePadding -> {{0, .25}, {.5, .5}}], Histogram[samples["SliceData", 10], Automatic, "PDF"]}]

伊藤过程表示 (3)

使用 ItoProcess 来表示标准 WienerProcess：

Wolfram Language code: wiener = ItoProcess[ⅆB[t] == ⅆw[t], B[t], {B, 0}, t, wWienerProcess[]]

为一个鞅过程. 使用伊藤引理计算的导数：

Wolfram Language code:

M = Exp[t / 2]Sin[B[t]];
{drift, diffusion} = wiener["Derivative", M]

创建一个 CoxIngersollRossProcess 并使用 ItoProcess 表示：

Wolfram Language code:

cir = CoxIngersollRossProcess[5, 1, 1 / 2, 10];
proc = ItoProcess[cir]

获取柯尔莫哥洛夫前向方程：

Wolfram Language code: forward = Activate[proc["KolmogorovForwardEquation"]] /. { -> x,  -> t,  -> p}

在和狄利克雷边界条件下使用局部初始条件在中求解数值方程：

Wolfram Language code:

f[x_] = Exp[-100 (x - 10) ^ 2]Sqrt[200 / (2Pi)];
Plot[f[x], {x, 0, 30}, PlotRange -> All]//Quiet

Wolfram Language code:

sol = p /. First[NDSolve[{forward, p[0, t] == p[30, t] == 0, p[x, 0] == f[x]}, p, {x, 0, 30}, {t, 0, 1}, Method -> {"MethodOfLines", "SpatialDiscretization" -> {"TensorProductGrid", "DifferenceOrder" -> "Pseudospectral"}}]]

绘制时柯尔莫哥洛夫前向方程的解，并将其与封闭形式的密度函数进行比较：

Wolfram Language code: Plot[{sol[x, 1], PDF[cir[1], x]}, {x, 0, 30}, PlotRange -> All]

使用 Animate 可视化解的动态：

Wolfram Language code:

Animate[Plot[sol[x, t], {x, 0, 30}, PlotRange -> {0, 0.3}], {t, 0, 1}, AnimationRunning -> False, TrackedSymbols :> t, SaveDefinitions -> True]

用 ItoProcess 表示 GeometricBrownianMotionProcess，其中表示无风险利率，是波动率：

Wolfram Language code: proc = ItoProcess[GeometricBrownianMotionProcess[r, σ, x0]] /. { -> x,  -> t}

计算贴现过程的伊藤微分：

Wolfram Language code: {drift, diffusion} = proc["Derivative", Exp[-r t]V[x[t], t]]

经典的 Black–Scholes 方程可以通过使漂移为 0 得到一些化简：

Wolfram Language code: (First[drift]Exp[r t] /. {x[t] -> x}//Simplify) == 0

该方程也可以直接从 Feynman–Kac 公式得到：

Wolfram Language code: bs = proc["FeynmanKacFormula", r] /. { -> V}

用 DSolve 以符号求解 Black–Scholes 方程：

Wolfram Language code: DSolve[{bs, V[x, T] == H[x]}, V[x, t], {x, t}]

属性和关系 (2)

把 StratonovichProcess 转化为 ItoProcess:

Wolfram Language code: StratonovichProcess[ⅆx[t] == a[t, x[t]]ⅆt + b[t, x[t]]ⅆw[t], x[t], {x, x0}, t, wWienerProcess[]]

Wolfram Language code: ItoProcess[%]

转化回来：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[%]

变换的维纳过程与 ItoProcess 相关：

Wolfram Language code:

𝒫1 = TransformedProcess[b[t] ^ 2, bWienerProcess[], t];
𝒫2 = ItoProcess[{0, 1, b[t] ^ 2}, b, t];

均值和方差函数一致：

Wolfram Language code: {Mean[𝒫1[t]] == Mean[𝒫2[t]], Variance[𝒫1[t]] == Variance[𝒫2[t]]}

可能存在的问题 (2)

ItoProcess 不支持随机初始条件，所以不能被表示：

Wolfram Language code: ItoProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ]]

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == aⅆt + b x[t]ⅆy[t], x[t], {x, x0}, t, yOrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ]]

但是它支持固定初始条件下的过程：

Wolfram Language code: ItoProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, Subscript[x, 0]]]

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == aⅆt + b x[t]ⅆy[t], x[t], {x, x0}, t, yOrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, x0]]

驱动过程的起始时间要符合 ItoProcess：

Wolfram Language code:

ItoProcess[ⅆx[t] == -x[t] ⅆt + ⅆw[t], x[t], {x, 1}, {t, 3}, wOrnsteinUhlenbeckProcess[0, 1, 1, 1]]//ProcessParameterQ

起始时间相符的情况下，是可以被表示的：

Wolfram Language code:

ItoProcess[ⅆx[t] == -x[t] ⅆt + ⅆw[t], x[t], {x, 1}, {t, 0}, wOrnsteinUhlenbeckProcess[0, 1, 1, 1]]//ProcessParameterQ

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	a 标量，b 标量
	a 标量，b 向量
	a 向量，b 向量
	a 向量，b 矩阵

	"Drift"	漂移项
	"Diffusion"	扩散矩阵
	"Output"	输出状态
	"TimeVariable"	时间变量
	"TimeOrigin"	时间变量原点
	"StateVariables"	状态变量
	"InitialState"	初始状态值
	"KolmogorovForwardEquation"	柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 前向方程 (福克-普朗克 (Fokker-Planck) 方程)
	"KolmogorovBackwardEquation"	柯尔莫哥洛夫后向方程
	"Derivative"	伊藤 (Ito) 导数
	"FeynmanKacFormula"	从 Feynman-Kac 公式中得到的偏微分方程 (PDE)

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