ItoProcess

ItoProcess[{a,b},x,t]

表示伊藤 (Ito) 过程 ，其中 .

ItoProcess[{a,b,c},x,t]

表示伊藤过程 ，其中 .

ItoProcess[…,{x,x0},{t,t0}]

使用初始条件 .

ItoProcess[…,…,…,Σ]

使用维纳过程 ，其中协方差为 Σ.

ItoProcess[proc]

在可能的情况下，将 proc 转化为标准伊藤过程.

ItoProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

表示由随机微分方程 sdeqns、输出表达式 expr 指定的伊藤过程，其中状态为 x，时间为 t，由遵循过程 dproc 的 w 驱动.

更多信息和选项

  • ItoProcess 也称为 Ito 扩散或者随机微分方程 (SDE).
  • ItoProcess 是连续时间和连续状态随机过程.
  • 如果 drift a 是 维向量，而扩散率 b 为 × 维矩阵，过程 是维的，并且由 维 WienerProcess 驱动.
  • 系数 a 和 b 的常见指定包括：
  • a 标量，b 标量
    a 标量，b 向量
    a 向量，b 向量
    a 向量，b 矩阵
  • 随机微分方程 有时候写作积分方程 .
  • 默认初始时间 t0 为零，而默认初始状态 x0 为零.
  • 默认协方差 Σ 是恒等矩阵.
  • 对于广义协方差 Σ，通过将扩散矩阵 b 转换成 b.Σ1/2（其中，可能的情况下， Σ1/2 为 Σ 的下 Cholesky 因子），ItoProcess 将过程标准化. »
  • 标准伊藤过程具有输出 ，包括微分状态 的子集.
  • 可被转化为标准 ItoProcess 格式的过程 proc 包括 OrnsteinUhlenbeckProcess、 GeometricBrownianMotionProcess、StratonovichProcess 和 ItoProcess.
  • 将 ItoProcess 转化为标准格式自动利用伊藤引理.
  • sdeqns 中的随机微分方程的格式是 ，其中 是 \[DifferentialD]，它可以使用 dd 输入. 导数 和 为伊藤导数.
  • 输出表达式 expr 可以涉及 x[t] 和 t 的任何表达式.
  • 驱动过程 dproc 可以是任何可被转化为标准伊藤过程.
  • 与 ItoProcess 相关的属性包括：
  • "Drift"漂移项
    "Diffusion"扩散矩阵
    "Output"输出状态
    "TimeVariable"时间变量
    "TimeOrigin"时间变量原点
    "StateVariables"状态变量
    "InitialState"初始状态值
    "KolmogorovForwardEquation"柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 前向方程 (福克-普朗克 (Fokker-Planck) 方程)
    "KolmogorovBackwardEquation"柯尔莫哥洛夫后向方程
    "Derivative"伊藤 (Ito) 导数
    "FeynmanKacFormula"从 Feynman-Kac 公式中得到的偏微分方程 (PDE)
  • RandomFunction 中 ItoProcess 特定的 Method 设置包括： »
  • "EulerMaruyama"Euler–Maruyama（阶数为 1/2，默认）
    "KloedenPlatenSchurz"Kloeden–Platen–Schurz（阶数为3/2）
    "Milstein"Milstein（阶数为 1）
    "StochasticRungeKutta"3‐阶段 Rossler SRK 方案（阶数为 1）
    "StochasticRungeKuttaScalarNoise"标量噪声的 3‐阶段 Rossler SRK 方案（阶数为3/2）
  • ItoProcess 可以与诸如 RandomFunction、CovarianceFunction、PDF 和 Expectation 等函数一起使用.

范例

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基本范例  (1)

根据随机微分方程定义过程：

模拟过程：

计算均值函数：

计算协方差函数：

范围  (19)

基本用途  (10)

从随机微分方程（SDE） 定义 Wiener 过程，其中 drift 为 和扩散率为 ：

直接从参数化过程转化：

定义过程 ，其中 :

使用微分记号来定义相同的过程：

定义向量过程 ，其中输出为 :

使用微分记号：

定义向量过程 ，其中 :

使用微分记号：

定义向量过程 其中 :

使用微分记号：

定义由两个相关 Wiener 过程驱动的过程：

规范化过程具有等于 的扩散矩阵，其中 是规范化前的扩散矩阵：

定义标量过程 对应于 SDE :

定义向量过程 和 对应于 SDE 和 :

定义对应于二维相关 Wiener 过程的过程：

定义由相关二维 Wiener 过程驱动的向量过程：

用不同的方法模拟 ItoProcess 的路径：

模拟方法及其对应的阶数：

用 RandomFunction 中的选项指定模拟方法：

过程属性提取  (2)

用随机微分方程定义一个伊藤过程：

可用的伊藤过程属性：

漂移和扩散的过程：

柯尔莫哥洛夫前向方程：

此处使用 Inactive 来避免扩展偏导数；使用 Activate 来扩展表达式：

柯尔莫哥洛夫后向方程：

计算函数 的伊藤导数. 输出是一个由漂移和扩散项组成的列表：

属性 "FeynmanKacFormula" 给出了一个偏微分方程，其解 满足条件期望 和终止条件 ：

对于广义情况，可以提供额外的论据. 有了额外的参数 后，"FeynmanKacFormula" 属性可给出一个偏微分方程，其解决方案满足条件期望 和相同的终止条件：

使用第三个参数 ，属性 "FeynmanKacFormula" 会给出偏微分方程，其解满足条件期望 和相同的终止条件：

使用 ItoProcess 定义 Heston 模型:

漂移：

扩散矩阵（规范化后）：

柯尔莫哥洛夫前向方程：

柯尔莫哥洛夫后向方程：

伊藤导数公式：

特殊 Ito 过程  (5)

对应于 WienerProcess 的伊藤过程:

对应于 GeometricBrownianMotionProcess 的伊藤过程:

对应于 BrownianBridgeProcess 的伊藤过程:

对应于 OrnsteinUhlenbeckProcess 的伊藤过程:

对应于 CoxIngersollRossProcess 的伊藤过程:

过程切片属性  (2)

定义雅克比扩散过程：

计算时间切片分布的低阶累积量：

求无穷时间区间的极限：

与均匀分布的累积量比较：

定义由线性 SDE 系统给出的向量过程：

求时间切片分布的概率密度函数：

计算 和 的交叉协方差：

仅当 时无穷时间区间极限存在：

应用  (11)

计算属性  (3)

计算 Ornstein‐Uhlenbeck 过程 的交叉协方差和它的内在 Wiener 过程 :

计算过程 的矩，其中 是标准 Wiener 过程：

由标量噪声驱动的向量伊藤过程（由白噪声驱动的一维振动器）：

模拟过程路径：

计算均值和方差函数：

绘制均值函数和标准差带，以及生成的路径：

鞅 (Martingales)  (3)

确定 和 的值，以满足过程 是 martingale，其中 是标准 Wiener 过程：

转为为标准格式：

标准格式的零偏移系数是 martingale 的必要条件：

由矢量维纳过程驱动的标量伊藤过程：

通过随机方程定义同一过程：

构建一个由两个维纳过程驱动的标量过程：

的二次方变化：

通过列维 (Lévy) 表征， 是布朗运动. 该过程的均值与初始状态相同：

建模  (2)

自由粒子在热涨落作用下的动力学可以用朗之万运动方程建模，，其中 是标准的 WienerProcess， 是热噪声的强度. 这里假设 只能取决于 并专注于速度方程. 积分运动方程的常用方法有两种：伊藤公式和斯特拉托诺维奇公式. 可以通过以下方式定义：

当 为常数时，这两个公式是相同的，并导致当 时相同的平稳分布：

如果 与速度有关，则由于 WienerProcess 的性质， 具有非零二次变化，且两个公式会导致不同的结果. 将斯特拉托诺维奇公式转换为等效的伊藤公式：

使用斯特拉托诺维奇公式下的漂移与使用伊藤公式下的漂移不同：

Gompertz 曲线通常被用于模拟生长过程，比如肿瘤的生长. 通过假设生长过程的对数中的高斯噪声，可以把模型写成随机微分方程：

过程的平均是常见的 Gompertz 曲线：

过程在时间 的切片分布服从 LogNormalDistribution：

，从 到 时 ，对过程进行模拟：

可视化抽样路径：

产生同样条件下的一千个样本，然后可视化路径并在 对数据进行切片：

伊藤过程表示  (3)

使用 ItoProcess 来表示标准 WienerProcess：

为一个鞅过程. 使用伊藤引理计算 的导数：

创建一个 CoxIngersollRossProcess 并使用 ItoProcess 表示：

获取柯尔莫哥洛夫前向方程：

在 和狄利克雷边界条件下使用局部初始条件在 中求解数值方程：

绘制 时柯尔莫哥洛夫前向方程的解，并将其与封闭形式的密度函数进行比较：

使用 Animate 可视化解的动态：

用 ItoProcess 表示 GeometricBrownianMotionProcess，其中 表示无风险利率， 是波动率：

计算贴现过程 的伊藤微分：

经典的 Black–Scholes 方程可以通过使漂移为 0 得到一些化简：

该方程也可以直接从 Feynman–Kac 公式得到：

用 DSolve 以符号求解 Black–Scholes 方程：

属性和关系  (2)

把 StratonovichProcess 转化为 ItoProcess:

转化回来：

变换的维纳过程与 ItoProcess 相关：

均值和方差函数一致：

可能存在的问题  (2)

ItoProcess 不支持随机初始条件，所以不能被表示：

但是它支持固定初始条件下的过程：

驱动过程的起始时间要符合 ItoProcess：

起始时间相符的情况下，是可以被表示的：

Wolfram Research (2012)，ItoProcess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ItoProcess.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2012)，ItoProcess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ItoProcess.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "ItoProcess." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/ItoProcess.html.

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Wolfram 语言. (2012). ItoProcess. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ItoProcess.html 年

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