将 m 分解成幺模矩阵 u 和 v 及一个对角矩阵 r：

u 和 v 的行列式具有绝对值 1：

r 的对角线上的每个元素都整除它的下一个元素：

验证该分解：

史密斯分解可用于求解整数上的线性方程. 考虑 ，其中 和 如下：

由于 ，等式 表示 ：

与 Solve 的结果相比：

对于可逆 ，当且仅当上述过程生成整数结果时有解：

史密斯分解给出了有限生成的阿贝尔群的规范表示. 考虑以关系 和 为模的整数两向量 的商群. 也就是说，如果两个点相差向量 和 的整数倍，则认为其为等价的. 计算矩阵 的史密斯分解，其行是 ：

从 可以看出群的结构是 ，或者简单地说 因为 是平凡群：

因此，平面上的每个点都等价于九个点之一 . 考虑点 . 为了找到 的规范表示，使用右侧的 旋转到对角基并计算 的对角项的模数：

点 等价于 ，因此应该映射到相同的规范表示，结果也确实如此：

因此，平面中的每个整数点都可以简化为规范表示. 相反，矩阵 可以被视为将规范基映射到起始基. 由于 和 生成的点阵只是与原点等效的所有点的集合，因此将该点阵旋转 得到的点阵将与 和 生成的点阵相同：

使用 SmithDecomposition 来计算两个整数 和 的扩展最大公约数：

令 为项为 和 的列矩阵：

史密斯分解给出 ，其中 是唯一的正 幺模矩阵：

因此 First[u].mFirst[r]：

但是由于 的第一行是 并且等式的左侧是 ，因此上述等式是 Bézout 恒等式. 这意味着广义最大公约数是：

与 ExtendedGCD 比较：

使用 SmithDecomposition 计算两个矩阵 和 的右侧广义最大公约数：

设 为由 和 的行组成的 矩阵：

史密斯分解中的矩阵 将是一个 矩阵：

令 和 为 的左上角和右上角：

矩阵 和矩阵 与 一样是 矩阵：

让 表示 的上半部分：

矩阵 和 有整数项：

因此 是 和 的右除数：

由于 、 和 的行列式服从 ， 实际上是右侧最大公约数：

此外，史密斯分解的前三行给出裴蜀等式 ：

因此，广义右侧最大公约数如下：

分解 中的矩阵 是一个 方阵，其中 是 的行数：

分解 中的矩阵 是一个 方阵，其中 是 的列数：

分解 中的矩阵 是一个与 维数相同的对角矩形矩阵：

矩阵 和 都有大小为 1 的行列式：

不管输入是整数还是有理数， 和 矩阵总是有整数值：

如果输入矩阵是复数，该结论可推广到结果的实部和虚部：

中的每个对角线项都除以其后续项：

如果输入矩阵是整数，则 矩阵具有整数值：

如果输入矩阵有非整数有理元素，那么 矩阵也有：

对于实值输入， 矩阵的对角线项是非负的：

对于复值输入，项的实部和虚部都是非负的：

史密斯分解通常可以通过埃尔米特分解的两次迭代得到：

第一次使用 HermiteDecomposition 给出了 和一个上三角矩阵：

将 HermiteDecomposition 应用于三角形矩阵的 Transpose 会给出 和 ：