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StratonovichProcess

StratonovichProcess[{a,b},x,t]

Stratonovich過程を表す．ただし，である．

StratonovichProcess[{a,b,c},x,t]

Stratonovich過程を表す．ただし，である．

StratonovichProcess[…,…,{x,x₀},{t,t₀}]

初期条件のStratonovich過程を表す．

StratonovichProcess[…,…,…,Σ]

共分散Σのウィナー(Wiener)過程を使う．

StratonovichProcess[proc]

可能な際は常に proc を標準Stratonovich過程に変換する．

StratonovichProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

確率微分方程式 sdeqns，出力式expr，状態 x，時間 t で指定され，過程 dproc に従う w によって決定されるStratonovich過程を表す．

StratonovichProcess

StratonovichProcess[{a,b},x,t]

Stratonovich過程を表す．ただし，である．

StratonovichProcess[{a,b,c},x,t]

Stratonovich過程を表す．ただし，である．

StratonovichProcess[…,…,{x,x₀},{t,t₀}]

初期条件のStratonovich過程を表す．

StratonovichProcess[…,…,…,Σ]

共分散Σのウィナー(Wiener)過程を使う．

StratonovichProcess[proc]

可能な際は常に proc を標準Stratonovich過程に変換する．

StratonovichProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

確率微分方程式 sdeqns，出力式expr，状態 x，時間 t で指定され，過程 dproc に従う w によって決定されるStratonovich過程を表す．

詳細とオプション

StratonovichProcessはStratonovich拡散あるいは確率微分方程式としても知られている．
StratonovichProcessは連続時間・連続状態のランダム過程である．
ドリフト a が次元ベクトルで拡散 b が × 次元の行列の場合，この過程は次元であり次元のWienerProcessによって決定される．
係数 a および b の一般的な指定値
a スカラー, b スカラー

a スカラー, b ベクトル

a ベクトル, b ベクトル

a ベクトル, b 行列
確率微分方程式は積分方程式として書かれることもある．
デフォルトの初期時間 t₀ は0であるとみなされる．デフォルトの初期状態 x₀ は0である．
デフォルトの共分散Σは恒等行列である．
標準Stratonovich過程の出力は微分状態のサブセットからなるである．
標準StratonovichProcess形式に変換可能な過程 proc は，OrnsteinUhlenbeckProcess，GeometricBrownianMotionProcess，ItoProcess，StratonovichProcess等である．
sdeqns における確率微分方程式はの形でよい．ただし，は\[DifferentialD]で，これはddとして入力する．微分およびはStratonovich微分であると解釈される．
出力式 expr は x[t] および t を含む任意の式でよい．
駆動過程 dproc は標準Stratonovich過程に変換可能な任意の過程でよい．
次は，StratonovichProcessの関連特性である．

	"Drift"	ドリフト項
	"Diffusion"	拡散行列
	"Output"	出力状態
	"TimeVariable"	時間変数
	"TimeOrigin"	時間変数の原点
	"StateVariables"	状態変数
	"InitialState"	初期状態値
	"KolmogorovForwardEquation"	Kolmogorov前進方程式（Fokker-Planckの方程式）
	"KolmogorovBackwardEquation"	Kolmogorov後退方程式
	"Derivative"	Stratonovich導関数

StratonovichProcessに特有のRandomFunctionにおけるMethod設定 »

	"EulerMaruyama"	オイラー・丸山（次数1/2，デフォルト）
	"KloedenPlatenSchurz"	Kloeden-Platen‐Schurz（次数3/2）
	"Milstein"	Milstein（次数1）
	"StochasticRungeKutta"	3段階Rossler SRKスキーム（次数1）
	"StochasticRungeKuttaScalarNoise"	スカラーノイズのための3段階Rossler SRKスキーム（次数3/2）

StratonovichProcessは，RandomFunction，CovarianceFunction，PDF，Expectation等の関数で使うことができる．

例題

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例 (1)

過程をその確率微分方程式で定義する：

Wolfram Language code: proc = StratonovichProcess[ⅆx[t] == -x[t]ⅆt + Sqrt[1 + x[t] ^ 2]ⅆw[t], x[t], {x, 1}, t, wWienerProcess[]]

過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: RandomFunction[proc, {0., 5., 0.01}]

Wolfram Language code: ListLinePlot[%, Filling -> Axis]

平均値関数を計算する：

Wolfram Language code: Mean[proc[t]]

共分散関数を計算する：

Wolfram Language code: CovarianceFunction[proc, s, t]

Wolfram Language code: Plot3D[%, {s, 0, 5}, {t, 0, 5}, ColorFunction -> "Rainbow"]

スコープ (16)

基本的な用法 (10)

ドリフト，拡散のウィナー過程を確率微分方程式から定義する：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{μ, σ}, {x, 0}, t]

パラメトリック過程から直接変換する：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[WienerProcess[μ, σ]]

過程を定義する，ただしである：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{μ, σ, c[x[t]]}, {x, 0}, t]

微分記法を使って同じ過程を定義する：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[ⅆx[t] == μ ⅆt + σ ⅆw[t], c[x[t]], {x, 0}, t, wWienerProcess[]]

出力のベクトル過程を定義する：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{{v, -x}, {0, 1}, x}, {{x, v}, {x0, v0}}, {t, 0}]

微分記法を使って：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[{ⅆx[t] == v[t] ⅆt, ⅆv[t] == -x[t]ⅆt + ⅆw[t]}, x[t], {{x, v}, {x0, v0}}, t, wWienerProcess[]]

ベクトル過程を定義する．ただしである：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{μ, σ, {x, x ^ 2}}, {x, 0}, t]

微分記法を使って：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[ⅆx[t] == μⅆt + σ ⅆw[t], {x[t], x[t] ^ 2}, {x, 0}, t, wWienerProcess[]]

ベクトル過程を定義する．ただしである：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{{y, -x}, {{1, 0}, {0, 1}}}, {{x, y}, {0, 0}}, t]

微分記法を使って：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[{ⅆx[t] == y[t]ⅆt + ⅆw1[t], ⅆy[t] == -x[t]ⅆt + ⅆw2[t]}, {x[t], y[t]}, {{x, y}, {0, 0}}, t, {w1WienerProcess[], w2WienerProcess[]}]

2つの相関ウィナー過程によって牽引される過程を定義する：

Wolfram Language code: Σ = {{1, 4 / 5}, {4 / 5, 1}};

Wolfram Language code: StratonovichProcess[{{1 - x[t]}, {{Subscript[σ, 1], Subscript[σ, 2]}}, x[t]}, {{x}, {1 / 2}}, {t, 0}, Σ]

確率微分方程式に対応するスカラー過程を定義する：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[ⅆx[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 2][t], x[t], {x, 0}, t, {Subscript[w, 1]WienerProcess[], Subscript[w, 2]WienerProcess[]}]

確率微分方程式およびに対応するベクトル過程およびを定義する：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[{ⅆx[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 2][t], ⅆy[t] == Subscript[w, 1][t]ⅆSubscript[w, 1][t]}, {x[t], y[t]}, {{x, y}, {0, 0}}, t, {Subscript[w, 1]WienerProcess[], Subscript[w, 2]WienerProcess[]}]

2D相関ウィナー過程に対応する過程を定義する：

Wolfram Language code:

noise𝒫[σ1_, σ2_, ρ_] = Refine[StratonovichProcess[{{0, 0}, {{σ1, 0}, {0, σ2}}}, {{w1, w2}, {0, 0}}, t, {{1, ρ}, {ρ, 1}}], -1 < ρ < 1];

2D相関ウィナー過程に牽引されるベクトル過程を定義する：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[{ⅆs[t] == μ s[t]ⅆt + Sqrt[r[t]]s[t]ⅆn1[t], ⅆr[t] == θ(μ - r[t])ⅆt + Sqrt[r[t]]ⅆn2[t]
	}, {s[t], r[t]}, {{s, r}, {s0, r0}}, t, {n1, n2}noise𝒫[Subscript[σ, 1], Subscript[σ, 2], ρ]]

さまざまなメソッドを使ってStratonovichProcessの経路のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code:

proc = StratonovichProcess[{ⅆx[t] == v[t]ⅆt, ⅆv[t] == -x[t]ⅆt + ⅆn[t]}, x[t], {{x, v}, {1, 0}}, t, nWienerProcess[]]

シミュレーションメソッドと対応する次数：

Wolfram Language code:

methods = {"EulerMaruyama", "Milstein", "StochasticRungeKutta", "KloedenPlatenSchurz", "StochasticRungeKuttaScalarNoise"};

Wolfram Language code: orders = {"order 1/2", "order 1", "order 1", "order 3/2", "order 3/2"};

シミュレーションメソッドをRandomFunctionのオプションとして指定する：

Wolfram Language code: paths = Table[RandomFunction[proc, {0., 2. Pi, 0.05}, 6, Method -> m], {m, methods}];

Wolfram Language code:

Grid[Partition[MapThread[ListLinePlot[#1, PlotLabel -> Column[{#2, #3}], ImageSize -> 160]& , {paths, methods, orders}], UpTo[3]], Spacings -> 2]

過程特性の抽出 (1)

確率微分方程式でStratonovich過程を定義する：

Wolfram Language code: proc = StratonovichProcess[ⅆx[t] == (μ - x[t])ⅆt + Sqrt[1 + x[t] ^ 2]ⅆw[t], x[t], {x, 1}, t, wWienerProcess[]]

使用可能なStratonovich過程の特性：

Wolfram Language code: proc["Properties"]

過程のドリフトと拡散：

Wolfram Language code: proc /@ {"Drift", "Diffusion"}

Kolmogorov前進方程式：

Wolfram Language code: proc["KolmogorovForwardEquation"]//TraditionalForm

ここではInactiveを使って偏導関数を展開しないようにしている．式の展開にはActivateを使う：

Wolfram Language code: Activate[%]//TraditionalForm

Kolmogorov後退方程式：

Wolfram Language code: proc["KolmogorovBackwardEquation"]//TraditionalForm

関数のStratonovich導関数を計算する．出力はドリフト項と拡散項からなるリストである：

Wolfram Language code: {mu, sig} = proc["Derivative", f[x[t], t]];

Wolfram Language code: TraditionalForm[mu]

Wolfram Language code: TraditionalForm[sig]

特殊Stratonovich過程 (5)

WienerProcessに対応するStratonovich過程：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[WienerProcess[μ, σ]]

GeometricBrownianMotionProcessに対応するStratonovich過程：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[GeometricBrownianMotionProcess[μ, σ, x0]]

BrownianBridgeProcessに対応するStratonovich過程：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[BrownianBridgeProcess[σ, {Subscript[t, 1], a}, {Subscript[t, 2], b}]]

OrnsteinUhlenbeckProcessに対応するStratonovich過程：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, x0]]

CoxIngersollRossProcessに対応するStratonovich過程：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[CoxIngersollRossProcess[μ, σ, θ, x0]]

アプリケーション (3)

反復Stratonovich積分 , , , , , に対応するベクトル過程を定義する：

Wolfram Language code:

pr = StratonovichProcess[{
	ⅆi0[t] == ⅆt, ⅆi1[t] == ⅆw1[t], ⅆi2[t] == ⅆw2[t], 
	ⅆi01[t] == i0[t]ⅆw1[t], ⅆi02[t] == i0[t]ⅆw2[t], ⅆi12[t] == i1[t]ⅆw2[t]}, {i0[t], i1[t], i2[t], i01[t], i02[t], i12[t]}, {{i0, i1, i2, i01, i02, i12}, {0, 0, 0, 0, 0, 0}}, t, {w1WienerProcess[], w2WienerProcess[]}]

その平均値関数を計算する：

Wolfram Language code: Mean[pr[t]]

共分散関数も計算する：

Wolfram Language code: CovarianceFunction[pr, s, t]//MatrixForm

熱変動の影響下での自由粒子のダイナミクスは，Langevin運動方程式によってモデル化できる．ここでは標準のWienerProcessであり，は熱ノイズの強度である．ここでは，はにのみ依存し，速度の方程式に焦点を当てることができると想定されている．運動方程式の統合には，伊藤定式化とStratonovich定式化という一般的な2つの方法があるが，それらは次の方法で定義できる：

Wolfram Language code: ito = ItoProcess[ⅆv[t] == -v[t]ⅆt + σ[v[t]]ⅆb[t], v[t], {v, vi}, t, bWienerProcess[]];

Wolfram Language code: str = StratonovichProcess[ⅆv[t] == -v[t]ⅆt + σ[v[t]]ⅆb[t], v[t], {v, vs}, t, bWienerProcess[]];

が定数のとき，2つの定式化は同一で，のときに同じ定常分布に至る：

Wolfram Language code: Limit[PDF[ito[t] /. {σ[v[t]] -> Sqrt[2]σ1}, v]//Simplify, t -> Infinity]

Wolfram Language code: Limit[PDF[str[t] /. {σ[v[t]] -> Sqrt[2]σ1}, v]//Simplify, t -> Infinity]

が速度に依存する場合は，WienerProcessの性質のために，は非零の二次変動を持ち，2つの定式化は異なる結果をもたらす．伊藤の公式をStratonovichの公式相当に変換する：

Wolfram Language code: sito = StratonovichProcess[ito]

Stratonovichの定式化でのドリフトは伊藤の定式化でのドリフトとは異なる：

Wolfram Language code: sito["Drift"]

Wolfram Language code: str["Drift"]

OrnsteinUhlenbeckProcessを作成し，StratonovichProcessでこれを表す：

Wolfram Language code:

ou = OrnsteinUhlenbeckProcess[5, 1, 1 / 2, 10];
proc = StratonovichProcess[ou]

Kolmogorov前進方程式を得る：

Wolfram Language code: forward = Activate[proc["KolmogorovForwardEquation"]] /. { -> x,  -> t,  -> p}

，における局所化された初期条件，ディリクレ境界条件で方程式を数値的に解く：

Wolfram Language code:

f[x_] = Exp[-100 (x - 10) ^ 2]Sqrt[200 / (2Pi)];
Plot[f[x], {x, 0, 20}, PlotRange -> All]//Quiet

Wolfram Language code:

sol = p /. First[NDSolve[{forward, p[0, t] == p[20, t] == 0, p[x, 0] == f[x]}, p, {x, 0, 20}, {t, 0, 1}, Method -> {"MethodOfLines", "SpatialDiscretization" -> {"TensorProductGrid", "DifferenceOrder" -> "Pseudospectral"}}]]

Kolmogorov前進方程式のにおける解をプロットし，これを閉じた形の密度関数と比較する：

Wolfram Language code: Plot[{sol[x, 1], PDF[ou[1], x]}, {x, 0, 20}, PlotRange -> All]

Animateで解のダイナミクスを可視化する：

Wolfram Language code:

Animate[Plot[sol[x, t], {x, 0, 20}, PlotRange -> {0, 1}], {t, 0, 1}, AnimationRunning -> False, TrackedSymbols :> t, SaveDefinitions -> True]

特性と関係 (1)

ItoProcessをStratonovichProcessに変換する：

Wolfram Language code: ItoProcess[ⅆx[t] == a[t, x[t]]ⅆt + b[t, x[t]]ⅆw[t], x[t], {x, x0}, t, wWienerProcess[]]

Wolfram Language code: StratonovichProcess[%]

変換し戻す：

Wolfram Language code: ItoProcess[%]

考えられる問題 (2)

StratonovichProcessはランダムな初期条件をサポートしないので，表すことができない：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ]]

Wolfram Language code: StratonovichProcess[ⅆx[t] == aⅆt + b x[t]ⅆy[t], x[t], {x, x0}, t, yOrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ]]

しかし，固定した初期条件の過程はサポートする：

Wolfram Language code: StratonovichProcess[OrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, Subscript[x, 0]]]

Wolfram Language code: StratonovichProcess[ⅆx[t] == aⅆt + b x[t]ⅆy[t], x[t], {x, x0}, t, yOrnsteinUhlenbeckProcess[μ, σ, θ, x0]]

駆動された過程の初期時間はStratonovichProcessとマッチする必要が有る：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[ⅆx[t] == -x[t] ⅆt + ⅆw[t], x[t], {x, 1}, {t, 3}, wOrnsteinUhlenbeckProcess[0, 1, 1, 1]]//ProcessParameterQ

初期時間がマッチすると表すことができる：

Wolfram Language code:

StratonovichProcess[ⅆx[t] == -x[t] ⅆt + ⅆw[t], x[t], {x, 1}, {t, 0}, wOrnsteinUhlenbeckProcess[0, 1, 1, 1]]//ProcessParameterQ

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