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StratonovichProcess

StratonovichProcess[{a,b},x,t]

表示一个 Stratonovich 过程，.

StratonovichProcess[{a,b,c},x,t]

表示一个 Stratonovich 过程，其中 .

StratonovichProcess[…,…,{x,x₀},{t,t₀}]

表示一个 Stratonovich 过程，其初始条件为 .

StratonovichProcess[…,…,…,Σ]

使用一个维纳过程，其协方差为 Σ.

StratonovichProcess[proc]

将 proc 尽可能转换成一个标准 Stratonovich 过程.

StratonovichProcess[sdeqns,expr,x,t,wdproc]

表示一个 Stratonovich 过程，由一个随机微分方程 sdeqns 所指定，输出表达式为 expr，状态为 x，时间为 t，被遵循过程 dproc 的 w 所驱动.

更多信息和选项

StratonovichProcess 又被称为 Stratonovich 扩散或随机微分方程 (SDE).
StratonovichProcess 是一个连续时间和连续状态的随机过程.
如果漂移 a 是一个 -维向量，扩散 b 是一个 ×-维矩阵，则这个过程 -维，而且被一个 -维 WienerProcess 所驱动.
系数 a 和 b 常用规范包括：
a 标量，b 标量

a 标量，b 向量

a 向量，b 向量

a 向量，b 矩阵
随机微分方程有时候会被写成积分方程 .
默认的初始时间 t₀ 被认为是零，并且默认初始状态 x₀ 是零.
默认的协方差 Σ 是单位矩阵.
一个标准 Stratonovich 过程有输出，由一个微分状态的子集组成.
可以被转换成标准 StratonovichProcess 形式的过程 proc 包括 OrnsteinUhlenbeckProcess，GeometricBrownianMotionProcess，ItoProcess 以及 StratonovichProcess.
sdeqns 中的随机微分方程可以为的形式，其中是 \[DifferentialD]，可以用 dd 输入. 微分s 和被认为是 Stratonovich 微分.
输出表达式 expr 可以为任何包含 x[t] 和 t 的表达式.
驱动过程 dproc 可以是能转换成标准 Stratonovich 过程的任何过程.
与 StratonovichProcess 过程相关的属性包括：

	"Drift"	漂移项
	"Diffusion"	扩散矩阵
	"Output"	输出状态
	"TimeVariable"	时间变量
	"TimeOrigin"	时间变量起点
	"StateVariables"	状态变量
	"InitialState"	初始状态值
	"KolmogorovForwardEquation"	Kolmogorov 正向方程（Fokker-Planck 方程）
	"KolmogorovBackwardEquation"	Kolmogorov 后向方程
	"Derivative"	Stratonovich 导数

RandomFunction 中针对 StratonovichProcess 的 Method 设置包括： »

	"EulerMaruyama"	欧拉-丸山（1/2 阶，默认）
	"KloedenPlatenSchurz"	Kloeden–Platen–Schurz（3/2 阶)
	"Milstein"	米尔斯坦（1 阶）
	"StochasticRungeKutta"	3‐级龙格- 库塔法（1 阶）
	"StochasticRungeKuttaScalarNoise"	标量噪音的 3‐级龙格- 库塔法（3/2阶）

StratonovichProcess 可以和函数 RandomFunction, CovarianceFunction，PDF 和 Expectation 等一起使用.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

通过其随机微分方程定义一个过程：

模拟过程：

计算平均值函数：

计算协方差函数：

范围 (16)

基本用途 (10)

定义一个维纳过程，其中漂移和扩散来自随机微分方程：

从参变过程直接转换：

定义一个过程，其中 :

使用微分表示法定义同一个过程：

定义一个输出的向量过程：

使用微分表示法：

定义一个向量过程，其中 :

使用微分表示法：

定义一个向量过程，其中 :

使用微分表示法：

定义一个被两个相关的维纳过程驱动的过程：

定义一个对应于随机微分方程 (SDE) 的标量过程：

定义对应于随机微分方程 (SDE) 和的向量过程和：

定义一个对应于二维相关维纳过程的过程：

定义一个被二维相关维纳过程驱动的向量过程：

用不同的方法模拟 StratonovichProcess 路径：

模拟的方法及其对应的阶数：

用 RandomFunction 中的选项指定模拟的方法：

过程属性提取 (1)

用随机微分方程定义一个 Stratonovich 过程：

可用的 Stratonovich 过程属性：

漂移和扩散过程：

Kolmogorov 正向方程：

这里使用 Inactive 是为了避免扩展偏导数；使用 Activate 扩展表达式：

Kolmogorov 向后方程：

计算函数的 Stratonovich 导数. 输出是一个由漂移和扩散项组成的列表：

特殊 Stratonovich 过程 (5)

对应于 WienerProcess 的一个 Stratonovich 过程：

对应于 GeometricBrownianMotionProcess 的一个 Stratonovich 过程：

对应于 BrownianBridgeProcess 的一个 Stratonovich 过程：

对应于 OrnsteinUhlenbeckProcess 的一个 Stratonovich 过程：

对应于 CoxIngersollRossProcess 的一个 Stratonovich 过程：

应用 (3)

定义一个向量过程，它对应于迭代的 Stratonovich 积分，，，，，：

计算其平均值函数：

和它的协方差函数：

自由粒子在热涨落作用下的动力学可以用 Langevin 运动方程来模拟，，其中是标准 WienerProcess，是热噪声的强度. 此处假设只依赖于，着重考虑速度方程. 运动方程的积分有两种常用的方法：Ito 公式和 Stratonovich 公式：

当是常数时，两个公式是一样的，当时趋向于相同的平稳分布：

如果依赖于速度，那么，由于 WienerProcess 的特性，具有非零二次方差，并且两个公式导致不同的结果. 将 Ito 公式转换为等效的 Stratonovich 公式：

Stratonovich 公式下的漂移与 Ito 公式下的漂移不同：

创建一个 OrnsteinUhlenbeckProcess，并用 StratonovichProcess 来表示：

获取 Kolmogorov 正向方程：

条件下用数值法求解方程，提供处的局部初始条件和 Dirichlet 边界条件：

绘制时 Kolmogorov 正向方程的解，将其与解析密度函数进行比较：

用 Animate 可视化解：

属性和关系 (1)

将 ItoProcess 转换至 StratonovichProcess：

转换回来：

可能存在的问题 (2)

StratonovichProcess 不支持随机初始条件，所有无法被表示：

但它支持有固定初始条件的过程：

驱动过程的起始时间需和 StratonovichProcess 匹配：

起始时间匹配的情况下，是可以被表示的：

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