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对称数组

对称数组

具有对称性的数组的表示法反对称数组
构建对称数组
对称性在处理高阶张量上发挥重要作用. 物理和数学中绝大多数重要的高阶张量具有对称性，从对称惯性张量到阶数为4的刚性和曲率张量. 它们当中大多数都有转置对称性，在某些情况下，还相当复杂. Wolfram 系统实现了完整的任意阶数或者维度的张量的置换对称性的语言，并且提供了只存储关于对称性的独立分量的专门数组类型. 这常常导致存储空间显著增大，虽然通常以较慢的操作为代价，因为需要更复杂的算法. 参见 "张量对称性" 以获取对称性语言的描述.
具有对称性的数组的表示法
SymmetrizedArray
构建只存储对称独立分量的数组
SymmetrizedArrayRules
对称数组的独立分量组成的规则列表
SymmetrizedReplacePart
在对称数组中替换独立分量
对称数组.
这是一个具有对称性的数组：
Wolfram Language code: array = {{{18, -92, 0}, {-92, 25, 67}, {0, 67, -5}}, {{-92, 25, 67}, {25, 46, -26}, {67, -26, 27}}, {{0, 67, -5}, {67, -26, 27}, {-5, 27, -82}}};
Wolfram Language code: TensorSymmetry[array]
这表示在位置的所有置换下，数组是不变的：
Wolfram Language code: Transpose[array, #] === array& /@ Permutations[{1, 2, 3}]
它可以用更简单的方式存储，这更好地反映了某些元素多次重复的事实：
Wolfram Language code: sarray = SymmetrizedArray[array]
新的表示法包含维度、非零独立分量列表和对称性：
Wolfram Language code: sarray//InputForm
正则形式与原始数组保持一致：
Wolfram Language code: Normal[sarray] === array
这些是数组的独立分量的规则. 最后的默认规则表示这里给出的独立分量的值不能是0：
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[sarray]
对称数组提供了紧凑的方法来存储具有相当大对称性的数组. 特别地，反对称性最大化了这个有点. 在极端的非零情况下，在维度为 的空间中阶数为 的反对称数组具有一个独立分量. 它的稀疏表示法包含 个非零元素，而它的正则形式有 个元素. 另一种情况，对称数组的操作通常较慢，因为它需要更复杂的算法.
默认情况下，LeviCivitaTensor 提供了稀疏表示法：
Wolfram Language code: lc7 = LeviCivitaTensor[7]
LeviCivitaTensor 提供对称和正常表示：
Wolfram Language code: lc7S = LeviCivitaTensor[7, SymmetrizedArray]
Wolfram Language code: lc7N = LeviCivitaTensor[7, List];
比较不同表示法的规模：
Wolfram Language code: lc7S//ByteCount
Wolfram Language code: lc7//ByteCount
Wolfram Language code: lc7N//ByteCount
Wolfram 系统中有其他高度对称的数组：
Wolfram Language code: disk = DiskMatrix[{7, 7, 7, 7, 7}];
Wolfram Language code: ByteCount[disk]
Wolfram Language code: SymmetrizedArray[disk]//ByteCount
SymmetrizedArray 对象视为原子对象. 它们的信息可以使用函数访问.
对称数组是原子的：
Wolfram Language code: AtomQ[sarray]
关于数组的信息可以按下列方法获得：
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[sarray]
Wolfram Language code: Dimensions[sarray]
Wolfram Language code: TensorSymmetry[sarray]
提取数组的分量，与它们是否独立无关：
Wolfram Language code: sarray[[1, 2, 3]]
Wolfram Language code: sarray[[2, 3, 1]]
提取子数组，如果可能保持对称性：
Wolfram Language code: sarray[[2]]
Wolfram Language code: TensorSymmetry[%]
单个元素可以被改变. 注意，给定规则被转化为相应的独立分量规则：
Wolfram Language code: SymmetrizedReplacePart[sarray, {{3, 2, 1} -> X}]
Wolfram Language code: Normal[%]
构建对称数组
已经证明，SymmetrizedArray 可用于以更有效的形式重写具有对称性的正则数组. 遵循 SparseArray， SymmetrizedArray 也可以从规则列表和对称性指定构建同样有效的表示法.
反对称矩阵的 SymmetrizedArray 形式：
Wolfram Language code: {{0, 1, 0}, {-1, 0, 2}, {0, -2, 0}}//SymmetrizedArray
这写是它的独立分量：
Wolfram Language code: rules = SymmetrizedArrayRules[%]
从这些规则和对称性，重新构建数组：
Wolfram Language code: SymmetrizedArray[rules, {3, 3}, Antisymmetric[{1, 2}]]
Wolfram Language code: Normal[%]
如果不提供对称性，那么假定采用恒等对称性. 该结果与在相同规则下使用 SparseArray 等价：
Wolfram Language code: SymmetrizedArray[rules, {3, 3}] == SparseArray[rules, {3, 3}]
忽略与对称性不兼容的规则：
Wolfram Language code: SymmetrizedArray[{{1, 1} -> x11, {1, 2} -> x12, {2, 2} -> x22}, {2, 2}, Antisymmetric[{1, 2}]]
Wolfram Language code: Normal[%]
规则中的常见模式可以用于 SymmetrizedArray 的第一个参数中. 这些规则是只用于独立分量的规则，正如SymmetrizedIndependentComponents 给出的，并且不像 SparseArray 是用于数组的所有位置的. 特别地，这对于生成具有随机元素的对称数组很有用.
维度为4的空间中阶数为3的随机反对称数组：
Wolfram Language code: SeedRandom[0] sarray = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[10], {4, 4, 4}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: Normal[sarray]
将索引表达式作为数组分量使用：
Wolfram Language code: sarray = SymmetrizedArray[pos_ :> Subscript[x, pos], {4, 4, 4}, Antisymmetric[All]]
Wolfram Language code: Normal[sarray]
另一种构建对称数组的方式实际上是其他数组的对称化，使用函数 Symmetrize.
对称化一个普通矩阵：
Wolfram Language code: Symmetrize[{{a, b}, {c, d}}]
Wolfram Language code: Normal[%]
使用其他对称性进行对称化：
Wolfram Language code: Symmetrize[{{a, b}, {c, d}}, Antisymmetric[{1, 2}]]
Wolfram Language code: Normal[%]
反对称数组
反对称张量在外部代数发挥了重要的作用. Wolfram 系统提供了反对称张量和霍奇对偶性组成的 wedge 乘积的基本操作.
采取维度5中的两个反对称数组：
Wolfram Language code: SeedRandom[0] aa1 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[10], {5, 5}, Antisymmetric[All]]; aa2 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[10], {5, 5}, Antisymmetric[All]];
它们的 wedge 乘积是反对称张量乘积，除了由任意的多项给出的乘数因子：
Wolfram Language code: aa1aa2
Wolfram Language code: % === Multinomial[2, 2]Symmetrize[aa1aa2, Antisymmetric[All]]
当总阶数超过维度，结果化为零：
Wolfram Language code: aa1aa2aa1//SymmetrizedArrayRules
SymmetrizedArray 表示法允许作用于高维度；否则，可能无法用于正常或者稀疏表示法：
Wolfram Language code: SeedRandom[0] aa1 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[10], ConstantArray[15, 6], Antisymmetric[All]]; aa2 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[10], ConstantArray[15, 8], Antisymmetric[All]];
Wolfram Language code: (aa12 = aa1aa2)//Timing
给出霍奇对偶，可以更方便地表示结果：
Wolfram Language code: HodgeDual[aa12]
Wolfram Language code: %//Normal