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VandermondeMatrix

VandermondeMatrix[{x₁,x₂,…,x_n}]

ノード x_iに対応する n×n Vandermonde行列を与える．

VandermondeMatrix[{x₁,x₂,…,x_n},k]

n×k Vandermonde行列を与える．

VandermondeMatrix[vmat]

Vandermonde行列 vmat を構造化配列に変換する．

詳細とオプション

Vandermonde行列は，構造化配列として表された場合は，Det，Inverse，LinearSolve等の効率的な格納とより効率的な操作を可能にする．
Vandermonde行列は多項式補間に関係する計算および単項式基底におけるモーメントの計算に出現する．
ノード x_iは数値である必要はなく，すべてが異なっていなくてもよい．
合流型ではないVandermonde行列（x_iは異なる）の成分はで与えられる．

合流型のVandermonde行列（x_iがすべて異なる訳ではない）は，2つあるいはそれ以上のノードが互いに近付くことができるのであれば非合流型Vandermonde行列の制限された形である． »
非合流型の場合，解{a₀,…}=LinearSolve[V,{b₁,…}]は，となるように点{x_i,b_i}を補関する多項式の係数を与える．
合流型の場合，解{a₀,…}=LinearSolve[V,{b₁,…}]はエルミート補間多項式の係数を与える．ただし，繰り返される x_iは与えられる派生情報に相当する．
VandermondeMatrixについて加速される操作には以下がある．
Det time

Inverse time

LinearSolve time
VandermondeMatrix sa については，sa["prop"]で次の特性"prop"にアクセスすることができる．

	"Nodes"	ノード x_iのベクトル
	"Multiplicities"	一意的な各ノードの多重度
	"Permutation"	置換リスト
	"Confluent"	行列が合流型かどうか
	"Transposed"	行列が転置されているかどうか
	"Properties"	サポートされる特性のリスト
	"Structure"	構造化配列の型
	"StructuredData"	構造化配列によって格納された内部データ
	"StructuredAlgorithms"	構造化配列に対して特別なメソッドを持つ関数のリスト
	"Summary"	Datasetとして表される情報の要約

Normal[VandermondeMatrix[x]]はVandermonde行列を通常の行列として与える．
VandermondeMatrix[…,TargetStructure->struct]は，Vandermonde行列を struct で指定された形式で返す．次はその可能な設定である．
Automatic 返す表現を自動選択する

"Dense" 行列を密な行列として表す

"Structured" 行列を構造化配列として表す
VandermondeMatrix[…,TargetStructureAutomatic]はVandermondeMatrix[…,TargetStructure"Structured"]に等しい．

例題

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例 (2)

Vandermonde行列を記号成分で構築する：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3], Subscript[x, 4]}]

要素を表示する：

Wolfram Language code: MatrixForm[v]

行列式を取得する：

Wolfram Language code: Det[v]

Vandermonde行列を数値成分で構築する：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[{0.5, 1., 2., 4.}]

行列の通常表現を取得する：

Wolfram Language code: Normal[v]

線形系を行列で解く（双対Vandermonde問題）：

Wolfram Language code: a = LinearSolve[v, Cos[{0.5, 1., 2., 4.}]]

解は余弦を近似する補間多項式の係数を与える：

Wolfram Language code:

Plot[{Cos[x], a.{1, x, x ^ 2, x ^ 3}}, {x, 0, 4}, Epilog -> Point[{{0.5, 1., 2., 4.}, Cos[{0.5, 1., 2., 4.}]}], PlotLegends -> {"cosine", "interpolating polynomial"}]

スコープ (8)

矩形Vandermonde行列：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[{0, (1/4), (1/3), (1/2), (2/3), (3/4), 1}, 11]

要素を表示する：

Wolfram Language code: MatrixForm[v]

合流型Vandermonde行列：

Wolfram Language code:

v = VandermondeMatrix[{Subscript[𝓍, 1], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 3], Subscript[𝓍, 3], Subscript[𝓍, 4], Subscript[𝓍, 5]}]

要素を表示する：

Wolfram Language code: MatrixForm[v]

矩形合流型Vandermonde行列：

Wolfram Language code:

vr = VandermondeMatrix[{Subscript[𝓍, 1], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 2], Subscript[𝓍, 3], Subscript[𝓍, 3], Subscript[𝓍, 4], Subscript[𝓍, 5]}, 12]

要素を表示する：

Wolfram Language code: MatrixForm[vr]

非合流型Vandermonde行列を構造化配列として表す：

Wolfram Language code:

vm = VandermondeMatrix[(⁠|   |       |        |         |          |            |            |
| - | ----- | ------ | ------- | -------- | ---------- | ---------- |
| 1 | 0     | 0      | 0       | 0        | 0          | 0          |
| 1 | (1/4) | (1/16) | (1/64)  | (1/256)  | (1/1024)   | (1/4096)   |
| 1 | (1/3) | (1/9)  | (1/27)  | (1/81)   | (1/243)    | (1/729)    |
| 1 | (1/2) | (1/4)  | (1/8)   | (1/16)   | (1/32)     | (1/64)     |
| 1 | (2/3) | (4/9)  | (8/27)  | (16/81)  | (32/243)   | (64/729)   |
| 1 | (3/4) | (9/16) | (27/64) | (81/256) | (243/1024) | (729/4096) |
| 1 | 1     | 1      | 1       | 1        | 1          | 1          |⁠)]

要素を表示する：

Wolfram Language code: MatrixForm[vm]

構造化表現は，通常，メモリ使用量がはるかに少ない：

Wolfram Language code: ByteCount[v = VandermondeMatrix[N[Range[123]]]]

Wolfram Language code: ByteCount[Normal[v]]

VandermondeMatrixオブジェクトは配列についての情報を与える特性を含んでいる：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[{-3, -2, -2, 1, 1, 1, 2}]

Wolfram Language code: v["Properties"]

"Nodes"特性は，Vandermonde行列を生成するノードのベクトルを与える：

Wolfram Language code: v["Nodes"]

"Permutation"特性は，Vandermonde行列に関連付けられた置換ベクトルを与える：

Wolfram Language code: v["Permutation"]

"Multiplicities"特性は，一意的な各ノードの多重度を与える：

Wolfram Language code: v["Multiplicities"]

"Confluent"特性は，Vandermonde行列が合流型のときはTrueを，それ以外のときはFalseを与える：

Wolfram Language code: v["Confluent"]

"Transposed"特性はVandermonde行列が転置されているときはTrueを，それ以外の場合はFalseを与える：

Wolfram Language code: v["Transposed"]

"Summary"特性は，配列についての情報の簡単な要約を与える：

Wolfram Language code: v["Summary"]

"StructuredAlgorithms"特性は，表現の構造を使うアルゴリズムを有する関数のリストを与える：

Wolfram Language code: v["StructuredAlgorithms"]

構造化アルゴリズムは，一般に，より高速でより正確である：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[-Cos[Pi Range[0, 47] / 47.]]

Wolfram Language code: AbsoluteTiming[dv = Det[v]]

Wolfram Language code:

nv = Normal[v];
AbsoluteTiming[dnv = Det[nv]]

厳密な行列式が計算できる：

Wolfram Language code:

ev = VandermondeMatrix[-Cos[Pi Range[0, 47] / 47]];
Short[dev = Det[ev]]

VandermondeMatrixから計算された値ははるかに正確である：

Wolfram Language code: {N[dev], dev - dv, dev - dnv}

構造化アルゴリズムは悪条件から問題を遠ざけることがある：

Wolfram Language code:

n = 101;
	(* Chebyshev nodes *)
x  = N[Cos[(π/n)(Range[n] - (1/2))], 20];
v = VandermondeMatrix[x]

VandermondeMatrixを使って線形系を解く：

Wolfram Language code:

b = Sin[π x Cos[x]];
AbsoluteTiming[a = LinearSolve[v, b];]

通常の行列を使って線形系を解く：

Wolfram Language code:

nv = Normal[v];
AbsoluteTiming[na = LinearSolve[nv, b];]

剰余はVandermondeMatrixを使った方が小さい：

Wolfram Language code: {Norm[v.a - b], Norm[v.na - b]}

Wolfram Language code: Plot[{Sin[π x Cos[x]] - a.(x ^ Range[0, 100])}, {x, -1, 1}, PlotRange -> All]

Wolfram Language code: Plot[{Sin[π x Cos[x]] - na.(x ^ Range[0, 100])}, {x, -1, 1}, PlotRange -> All]

構造化アルゴリズムは，適切な場合は別の構造化アルゴリズムを返す：

Wolfram Language code: v = VandermondeMatrix[Exp[2 π I Range[0, 12] / 12.]]

その共役転置を評価すると構造化された結果が与えられる：

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[v]

もとの行列との積はもはやVandermonde行列ではない：

Wolfram Language code: Chop[%.v]

オプション (1)

TargetStructure (1)

Vandermonde行列を密な行列として返す：

Wolfram Language code: VandermondeMatrix[{1, 1, 4}, TargetStructure -> "Dense"]

Vandermonde行列を構造化配列として返す：

Wolfram Language code: VandermondeMatrix[{1, 1, 4}, TargetStructure -> "Structured"]

アプリケーション (7)

n+1例の異なるサンプルの集合を関数から生成する：

Wolfram Language code:

f[x_] := BesselJ[0, x];
{xValues, fValues} = Transpose@Table[{x, f[x]}, {x, Range[0, 10, 10. / (n = 6)]}]

VandermondeMatrixを使ってそれらのサンプルにおける関数を補間する次数 n の多項式を求める：

Wolfram Language code:

Vm = VandermondeMatrix[xValues];
coefficients = LinearSolve[Vm, fValues];

多項式を定義する：

Wolfram Language code: poly[x_] = coefficients.x^Range[Length[coefficients]] - 1

もとの関数と補間多項式を比較する：

Wolfram Language code:

Plot[{f[x], poly[x]}, {x, 0, 10}, Epilog -> {PointSize[Medium], Point[{xValues, fValues}//Transpose]}, PlotLegends -> "Expressions"]

補間条件と導関数の条件を満足する多項式の係数を定義する：

Wolfram Language code: coefs = LinearSolve[VandermondeMatrix[{0, 0, 1, 1, 1}], {1, 0, 1 / 2, -1, 0}]

多項式を定義する：

Wolfram Language code: poly[x_] = coefs.x^Range[Length[coefs]] - 1

補間条件と導関数の条件が満足されていることを確認する：

Wolfram Language code: {poly[0], poly'[0]}

Wolfram Language code: {poly[1], poly'[1], poly''[1]}

異なる4つの点の集合を定義する：

Wolfram Language code:

points = {{Subscript[x, 0], Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3]}, {Subscript[f, 0], Subscript[f, 1], Subscript[f, 2], Subscript[f, 3]}} = {{0, 2, 4, 6}, {0.63662, 0.63050, -0.23360, -0.04297}};

二次Vandermonde多項式をこれらの点にフィットする：

Wolfram Language code:

vInv = Inverse[VandermondeMatrix[{Subscript[x, 0], Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3]}]];coefficients = vInv.{Subscript[f, 0], Subscript[f, 1], Subscript[f, 2], Subscript[f, 3]};
vanderPoly = Function[x, coefficients.x^Range[Length[coefficients]] - 1];

VandermondeMatrixの逆行列の列は，ラグランジュ(Lagrange)多項式と呼ばれる次数 n の多項式の集合を定義する：

Wolfram Language code: Subscript[L, i_][u_] := (vInv[[All, i + 1]]).Table[u^k, {k, 0, 3}]

ラグランジュ多項式は恒等式 $L_i(x_j)=TemplateBox[{{i, ,, j}}, KroneckerDeltaSeq]$ を満足する：

Wolfram Language code: Table[Subscript[L, i][x] /. x -> Subscript[x, j], {i, 0, 3}, {j, 0, 3}]//MatrixForm

Vandermonde多項式をラグランジュ多項式によって表す：

Wolfram Language code:

lagPoly = Function[x, Subsuperscript[∑, i = 0, 3]Subscript[L, i][x]Subscript[f, i]];
(lagPoly[x] == vanderPoly[x])//Simplify

プロットして確かめる：

Wolfram Language code:

Show[
	Plot[{vanderPoly[x], lagPoly[x], Subscript[L, 0][x], Subscript[L, 1][x], Subscript[L, 2][x], Subscript[L, 3][x], 1}, {x, 0, 6.2}, IconizedObject[«Plot options»]], 
	ListPlot[points//Transpose, IconizedObject[«ListPlot options»]]]

根を持つ多項式を定義する：

Wolfram Language code: poly = Subsuperscript[∏, i = 1, n = 4](x - Subscript[λ, i]);

VandermondeMatrixを根から構築する：

Wolfram Language code: Vm = VandermondeMatrix[roots = Table[Subscript[λ, i], {i, 1, n}]];

既知の根がある多項式のフロベニウス(Frobenius)同伴行列はこの根を持つ対角行列と相似であり，Vandermonde行列が相似変換として機能する：

Wolfram Language code: (compMat = Inverse[Vm].DiagonalMatrix[roots].Vm//Simplify)//MatrixForm

フロべニウス同伴行列の最終列には n-1次数までの多項式の負の係数が含まれている：

Wolfram Language code: compMat[[All, -1]] == -Most[CoefficientList[poly, x]]//Simplify

これらは初等対称多項式とも符号まで等しい：

Wolfram Language code: compMat[[All, -1]] == Table[(-1)^k + 1SymmetricPolynomial[k, roots], {k, n, 1, -1}]//Simplify

n 次有限差分の係数について解く：

Wolfram Language code:

n = 5;
coef = LinearSolve[Transpose[VandermondeMatrix[Range[0, n]]], UnitVector[n + 1, n + 1]n!]

有限差分式を組み立てる：

Wolfram Language code: (coef.Map[f, x + h Range[0, n]]/h^n)

これはDifferenceQuotientの結果に等しい：

Wolfram Language code: DifferenceQuotient[f[x], {x, n, h}] == %//Simplify

閉じたニュートン・コーツ(Newton–Cotes)の公式のノードと重みを計算する関数を定義する[MathWorld]：

Wolfram Language code:

newtonCotesRule[a_, b_, ord_] := Module[{cof, xt}, 
	xt = Subdivide[0, 1, ord];
	cof = LinearSolve[Transpose[VandermondeMatrix[xt]], 1 / (1 + Range[0, ord])];
	{Rescale[xt, {0, 1}, {a, b}], (b - a)cof}]

台形規則は次数1のニュートン・コーツの公式である：

Wolfram Language code:

{nodes, weights} = newtonCotesRule[a, b, 1];
weights.(f /@ nodes)

シンプソンの公式は次数2のニュートン・コーツの公式である：

Wolfram Language code:

{nodes, weights} = newtonCotesRule[a, b, 2];
weights.(f /@ nodes)

ブールの公式は次数4のニュートン・コーツの公式である：

Wolfram Language code:

{nodes, weights} = newtonCotesRule[a, b, 4];
weights.(f /@ nodes)

指数関数の n 項の和：

Wolfram Language code: eSum[x_] := (2/3)E^-x / 2 + (1/4)E^-x / 5 + (1/7)E^-2x / 9

点で指数関数のサンプルを取る：

Wolfram Language code:

n = 3;
data = Table[N[eSum[x]], {x, 0, 2n - 1}]

Pronyのメソッド[Wikipedia]を使って指数関数の和をデータから復元する：

Wolfram Language code:

pk = LinearSolve[HankelMatrix[Take[data, n], Take[data, {n, 2n - 1}]], -Take[data, -n]];
rts = x /. NSolve[FromDigits[Prepend[Reverse[pk], 1], x], x];
phases = Log[Abs[rts]] + I Im[Log[Sign[rts]]];
coefs = LinearSolve[Transpose[VandermondeMatrix[rts]], Take[data, n]];
newSum[x_] = coefs.Exp[x phases]

特性と関係 (6)

合流型Vandermonde行列は，非合流型行列の極限として得ることができる：

Wolfram Language code:

n = 4;
vh = Normal[VandermondeMatrix[x + h Range[0, n - 1]]]

各行の連続する差分商を取る：

Wolfram Language code: Table[((-1)^j - k/h^j - 1)Binomial[j - 1, k - 1], {j, n}, {k, n}].vh

のときの極限は合流型Vandermonde行列である：

Wolfram Language code: Limit[%, h -> 0] == VandermondeMatrix[ConstantArray[x, n]]

FourierMatrixはVandermondeMatrixとして表すことができる：

Wolfram Language code:

{n, a, b} = {13, 1, -1};
fm = FourierMatrix[n, FourierParameters -> {a, b}];
fm == (1/n^(1 - a) / 2)VandermondeMatrix[n^(1 - a) / 2fm[[2]]]

多項式の行列式はVandermondeMatrixのDet の平方として表すことができる：

Wolfram Language code:

poly = Subsuperscript[∏, i = 1, n = 5](x - Subscript[λ, i]);
(Discriminant[poly, x] == Det[VandermondeMatrix[Table[Subscript[λ, i], {i, 1, n}]]]^2)//Simplify

合流型Vandermonde系を解く：

Wolfram Language code: LinearSolve[VandermondeMatrix[{0, 0, 1, 2, 3, 3, 3}], {1, 0, 2, 1, 0, -1, 1}]

これは，微分値を指定したInterpolatingPolynomialの係数である：

Wolfram Language code: CoefficientList[InterpolatingPolynomial[{{{0}, 1, 0}, {{1}, 2}, {{2}, 1}, {{3}, 0, -1, 1}}, x], x]

対角行列，Vandermonde行列，ハンケル(Hankel)行列によって，Vandermonde行列の逆行列の因数分解を行う：

Wolfram Language code:

xl = {x1, x2, x3, x4, x5};
Inverse[VandermondeMatrix[xl]] == HankelMatrix[Rest[CoefficientList[Apply[Times, x - xl], x]]].Transpose[VandermondeMatrix[xl]].DiagonalMatrix[1 / Table[Apply[Times, xl[[k]] - Delete[xl, k]], {k, Length[xl]}]]//Simplify

コーシー行列を対角行列，Vandermonde行列，ハンケル行列の積として表す：

Wolfram Language code:

xl = {x1, x2, x3, x4, x5};
yl = {y1, y2, y3, y4, y5};
CauchyMatrix[xl, yl] == DiagonalMatrix[1 / (Times@@@Outer[Plus, xl, yl])].VandermondeMatrix[xl].HankelMatrix[Rest[CoefficientList[Apply[Times, y + yl], y]]].Transpose[VandermondeMatrix[-yl]]//Simplify

おもしろい例題 (2)

行列とベクトル：

Wolfram Language code:

a = {{-19, -10, -2, -18}, {-23, -12, -3, -19}, {6, 6, 5, 6}, {38, 18, 2, 33}};
v0 = {1, 0, -1, 2};

与えられた行列とベクトルからKrylov行列を計算する関数を定義する：

Wolfram Language code: krylovMatrix[m_ ? SquareMatrixQ, v_ ? VectorQ] /; Length[m] == Length[v] := Transpose[NestList[m.#&, v, Length[v] - 1]]

行列の固有値を計算する：

Wolfram Language code: λ = Eigenvalues[a]

ベクトルに対する指数行列の動作はKrylov行列とVandermonde行列の逆行列によって表すことができる：

Wolfram Language code: sol = krylovMatrix[a, v0].Inverse[VandermondeMatrix[λ]].Exp[λ t]

MatrixExpからも同じ結果が得られることを確認する：

Wolfram Language code: MatrixExp[a t, v0] == sol//Simplify

DSolveValueからも同じ結果が得られることを確認する：

Wolfram Language code: DSolveValue[{v'[t] == a.v[t], v[0] == v0}, v[t]∈Vectors[Length[v0]], t] == sol//Simplify

線形Caputo微分方程式もまた，Mittag–Leffler関数MittagLefflerEとともに，Krylov行列とVandermonde行列の逆行列によって解くことができる：

Wolfram Language code:

α = 3 / 4;
solα = krylovMatrix[a, v0].Inverse[VandermondeMatrix[λ]].MittagLefflerE[α, λ t^α]

DSolveValueで同じ結果が得られることを確認する：

Wolfram Language code: DSolveValue[{CaputoD[v[t], {t, α}] == a.v[t], v[0] == v0}, v[t]∈Vectors[Length[v0]], t] == solα//FullSimplify

陰的ルンゲ・クッタ(Runge–Kutta)法のブッチャー(Butcher)配列は，ルジャンドル(Legendre)多項式の根から構築された主Vandermonde系を解くことで得られる：

Wolfram Language code:

With[{s = Quotient[6 + 1, 2]}, 
	rts = Sort[x /. Solve[LegendreP[s, 1 - 2 x] == 0, x], Less];
	vt = Transpose[VandermondeMatrix[rts]];
	rkgctab = {Transpose[LinearSolve[vt, DiagonalMatrix[1 / Range[s]].vt.DiagonalMatrix[rts]]], LinearSolve[vt, 1 / Range[s]], rts}]//Simplify

陰的ルンゲ・クッタ・ガウス係数を指定精度で計算する関数を定義する：

Wolfram Language code: ImplicitRungeKuttaGaussCoefficients[6, p_] := N[rkgctab, p];

NDSolveValueの係数を使ってShampine法による火炎伝播をモデル化する硬い微分方程式を解く：

Wolfram Language code:

δ = 10^-3;
sol = NDSolveValue[{y'[t] == y[t]^2(1 - y[t]), y[0] == δ}, y, {t, 0, 2  / δ}, 
	Method -> {"FixedStep", Method -> {"ImplicitRungeKutta", "Coefficients" -> ImplicitRungeKuttaGaussCoefficients, "DifferenceOrder" -> 6}}, StartingStepSize -> 1 / 20]

厳密解の結果と比較する：

Wolfram Language code: Plot[{With[{a = (1/δ) - 1}, (1/1 + ProductLog[a E^a - t])], sol[t]}, {t, 0, 2 / δ}, IconizedObject[«Plot options»]]

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