音響ミラー

はじめに初期条件と境界条件
圧力音響モデルPDEモデルを解く
領域後処理と可視化
音源用語集
メッシュ生成参考文献

はじめに

音響ミラーとは，音波を集めて増幅させる受動素子である．音響ミラーは，入力音信号を反射し集めることのできるsound hard素材からできた放物型に設計されていることが多い．音響ミラーは，レーダーシステムが発明されるまで，近付いてくる航空機を検出するために使われていた．近年では，設定の簡便さと信号処理[1]の効率のよさのため，音響ミラーは空力音響風洞で騒音測定をするために広く使われている．

この研究は，対のサウンドミラーでの音の伝播のシミュレーションを行うものである．不調和な音信号が散布したり再び集中したりするパターンを可視化するために，時間領域で音響PDEモデルを構築する．しかしフーリエ変換を使って，時間領域と周波数領域の両方でミラーの性能を数量化することができる．モデル化の過程では，メッシュの微調整および音源の設定の方法も示す．

このチュートリアルで使われている記号およびそれに対する単位は，用語集のセクションに要約してある．

音響についてのより一般的な理論については，「時間領域における音響学」に記載の情報をご参照いただきたい．

有限要素パッケージをロードする．

圧力音響モデル

この例では，音波の伝播を波動方程式(2)で記述することができる：

変数を定義し，時間領域音響モデルのパラメータを選ぶ．
音の媒体として空気を使う．
時間領域音響モデルの材料パラメータを定義する．

領域

この幾何学モデルでは，一対の放物型サウンドミラーを および でインストールする．各ミラーは幅 ，焦点距離 で設計する．左の放物ミラーの焦点には，単極音源がある．右の放物ミラーの焦点にはレシーバーがある．

入力信号が左の焦点から出ている場合，音波は左側のミラーで反射し，ミラーが向いている方向に伝播し，音信号をもう片方のミラーに送る．入力波は右のミラーに届き，右のミラーは信号をレシーバーに向けて反射し再び集める．

幾何学のパラメータを指定する．
シミュレーションの領域を定義する．

2Dの矩形領域から対のサウンドミラーを除くことでシミュレーション領域を指定する．領域のプロットでは，実線はミラーの曲面をモデル化する壁境界を表し，破線は波が領域を離れる出力境界をモデル化する．

音源

このモデルでは，左の焦点に単極音源 が置かれ，時間不調和音入力としてガウス微分パルスが使われる．次のセクションで示すように，ガウス微分パルスは滑らかな有界の周波数スペクトルを持つため，解析に好まれる音源信号となっている．

半パルス幅がの入力音信号 を設定する．

時間領域における音響学チュートリアルで説明している通り，単極音源項 は次のように書かれる：

ここで は音源の位置における正規化されたディラックのデルタ関数である．

正規化デルタ関数 を設定する．
で単極音源 の音源位置を設定する．

メッシュ生成

音響シミュレーションでは，音波の波長 は正確な数値解を得るために十分に細かいメッシュで解かなければならない．ここで について最大の辺長を3ノードに設定する．これは波の伝播の各方向における波長 について少なくとも3つの要素があるということを意味する：

時間調和波の場合， の計算は簡単であるが，複数の周波数を含む時間不調和波では(3)の波長 は明示的に指定されない．メッシュサイズ を決定する規則は各周波数要素が確実に解けるようにすることであるため，次の制約が課される：

最大周波数 を求める一般的な方法は，入力信号をフーリエ変換で週は周波数領域に変換するというものである．

フーリエ変換を使って入力音信号を変換し，周波数スペクトルを可視化する．

入力信号はほぼ周波数領域に限られていることが分かるため，解くための最大周波数に が選ばれる．

解くための最大周波数 とそれに対するメッシュサイズ を設定する．
領域を離散化する．

初期条件と境界条件

音信号は不かく乱領域から始まるので，初期音圧 とその導関数はゼロに設定される．

音のない領域の初期条件を設定する．

この例には2つのタイプの境界条件が関わっている．出力音波をモデル化するために外側の境界上に吸収境界条件を設定する．

外側の境界に吸収境界条件を設定する．

音響ミラーの壁境界には，デフォルトのsound hard境界条件が使われる．

PDEモデルを解く

音響ミラーによって波が散らばったり集まったりする過程を調べるために，シミュレーション時間を に設定する．PDEモデルは有限要素法を使ってNDSolveValueで数値的に解く．

シミュレーション終了時間を定義する．
PDEを設定する．．

このシミュレーションを評価するためには，通常のRAMメモリよりも大きい量が必要である．十分なメモリのないコンピュータではこのシミュレーションは動作しない可能性がある．

後処理と可視化

音圧分布

音響ミラーの効果を分析するために，まず時間領域における音の伝播を可視化する．

格子上の最大および最小音圧 を求め，凡例のバーとContourPlotオプションを設定する．
対の音響ミラーの間の音波の伝播を可視化する．

アニメーションの質を向上させる方法はここに記載してある．

まず，左の焦点の単極音源がすべての方向に音波を放射する．波の左の部分がミラーに当り，右に行く平面波を形成するよう反射される．波が右のミラーに到着するともう一度反射されレシーバーに向かって集約される．

音響ミラーの性能を数量化するために，レシーバーでの音圧レベルをミラーがない場合，つまり自由空間の散乱波と比較する．

最初に両方の場合で音信号の移動時間を決定する必要がある．自由空間の伝播波の場合，レシーバーに届く時間は で計算される．しかし音響ミラーの場合は，信号を再集約する移動時間は反射があるために延長されるので で与えられる．

音信号の到着時間を計算する．

移動時間が計算されると，自由空間の散乱波[4]の圧力場は次によって解析的に計算することができる：

ここで は入力信号を表し， は音源とレシーバーの間の距離を表す．

音響ミラーなしのレシーバーでの音圧レベルを計算する．
右の焦点で受信された音信号と比較する．

音信号はミラーのない場合（オレンジ色の線）と比べると，音響ミラー（青い線）によってよりよく保存されている．ミラーの効率性はミラーの幅を広くすることでさらに高めることができる．

増幅率 を計算することによってミラーの性能を数量化する．ここで は信号の最大音圧を表す．

音響ミラーの増幅率を計算する．FindMinimumにPDEの解の誤差についての適切な許容誤差オプションが与えられる．

自由空間の散乱波比較すると，音響ミラーのある音信号はレシーバーにおいて約3倍拡大されている．

音圧スペクトル

音響PDEモデルは不調和音入力のシミュレーションのため時間領域で構築されるが，周波数領域で音響ミラーの効果を調べることもできる．このためには離散フーリエ変換(DFT)を使って過渡音信号を周波数スペクトルに変換する．周波数成分の分布を可視化するために，音響ミラーの性能を選ばれた周波数範囲で示すことができる．

離散フーリエ変換を適用するために，音響信号は音圧値の離散リストにサンプルされる．

サンプルレート を設定し，入力パルス の期間から対応するデータ長を計算する．
時間領域の音圧データを抽出する．

別のチュートリアルの説明にあるように，離散フーリエ変換は対応する周波数要素 を持つ 個のフーリエ係数 を生成する．フーリエ変換の周波数分解能は で与えられる．

周波数分解能 を計算する．

しかし，周波数範囲がのとき，データ長 は結果として粗い分解能 となり，解析には使えない．周波数分解能を向上させるために， のとき時間領域データを零点で拡張する．この方法[5]は「ゼロパディング」とも呼ばれる．

周波数分解能 を得るためには．拡張されたデータ集合の長さは 個の点を持たなければならない．

データ集合の拡張されたデータ長 を設定する．
ゼロパディングを適用する．
フーリエ変換によって音信号を変換する．
周波数成分の表を設定する．
音信号の正規化された増幅スペクトルを可視化する．

音響ミラーでは，再度焦点に集まった音波のスペクトルは 付近の中心あたりに集められる．つまり，音響ミラーは入力信号の中心の周波数成分を保存するが，高周波数あるいは低周波数のものは失う傾向がある．スペクトル[6]の両側の増幅を増大させるためにはより幅広いミラーを使うことができる．また，音源の位置に基づいてミラーの曲率を調整することもできる．

用語集

    

記号説明単位
ρ密度[kg/m3]
c音速[m/s]
p音圧[Pa]
t時間[s]
X位置ベクトル[m]
Fオプショナルの二重極音源[N/m3]
Qオプショナルの単極音源 [1/s2]
wミラーの幅[m]
a焦点長[m]
L分離距離[m]
Γwall壁境界N/A
Γout遠方場境界N/A
Ω計算領域N/A
Ωrecミラーなしの計算領域N/A
τ半パルス幅[s]
Xs音源位置[m]
hメッシュ間隔[m]
λ音波長[m]
f音波周波数[Hz]
ω音波の角周波数[rad/s]
tfree自由空間信号の移動時間[s]
tfree再焦点化信号の移動時間[s]
uiフーリエ係数N/A
fi周波数成分[Hz]
d f周波数分解能[Hz]

参考文献

1.  Ihlenburg, Frank. The Medium-Frequency Range in Computational Acoustics: Practical and Numerical Aspects. Journal of Computational Acoustics, Vol.11, No. 2 175-193, 2003.

2.  Helfer, Martin. Sound Source Localisation with Acoustic Mirrors, 2009.

3.  Lindsten, Fredrik. A remark on zero-padding for increased frequency resolution, 2010.

4.  Russell, Daniel, Titlow, Joseph and Bemmen, Ya-Juan. Acoustic monopoles, dipoles and quadropoles: An experiment revisited. American Journal of Physics 67, 660, 1999.