正方形空洞の浮力流れ
はじめに
浮力対流とは液体の熱移動の一種であり，流体流が温度勾配による密度差だけによって起る．
固体壁の正方形空洞内の二次元流れを考える．ここで空洞 
は
方向に作用する．左と右の境界の温度は異なりそれぞれ 
，
である．しかし上と下の境界は断熱されるものと仮定する．
左境界付近の流体は熱を吸収するので，熱膨張によって密度が減少し上昇する．そこに周囲の冷たい流体が流れ込み，領域内に対流電流を発生させる．このタイプの流れは自然／自由対流と言われる．
次のシミュレーションは正方形空洞内の温度場，圧力場，速度場をモデル化する．対流が強いほど熱移動の比率は高くなるので，境界で熱流 
を計算することで自然対流のレベルを測定することができる．
ここで使われる記号と対応する単位は用語集のセクションにまとめてある．
熱移動解析についての理論的情報は「熱移動」に記載されている．
マルチフィジックスモデル
この問題は数種類の物理学を考えるものなので，マルチフィジックスモデルを構築する．流体流れの熱移動をモデル化するために，熱方程式をナビエ・ストークス方程式と組み合せる．
熱移動モデル
熱源のない定常状態熱移動モデルでは，熱分布はsource-freeの時間非依存熱方程式(1)で表される．流体流れによる熱対流は対流項でモデル化される．したがって，流体流れの速度場 
は熱方程式の対流項 
で設定される．
流体力学モデル
流れ場はナビエ・ストークス方程式(2)で表される．流体への温度の効果を説明するために，ブシネスク近似[3]を使う．この近似は温度によって引き起こされる密度差以外の流体特性の変化を無視する．つまり，ブシネスク近似は浮力だけが流体流れに作用する唯一の力であると仮定する．
領域
シミュレーション領域
は単位正方形として構築する．左，右，下，上の境界はそれぞれ
，
，
，
で表す．
自然対流では，浮力で流体運動が発生する．一方，流体の粘性はこの対流に抵抗する主要な力である．
流体内の浮力と粘性力の関係を表すために無次元のレイリー数
[4]を定義する：
は重力
，
は熱膨張係数
，
は熱拡散率
，
は動粘度
，
は主流温度
である．
次のシミュレーションではレイリー数
，
のもとで対流場を解き比較する．残りの流れ特性は値
の定数として設定する．
境界条件
このマルチフィジックスのシミュレーションには熱移動モデルと流体力学モデルが含まれるため，各物理モードの境界条件をそれぞれに設定する．
熱移動モデル
この熱移動モデルには2種類の境界条件が含まれる．左と右の境界
，
では，温度がそれぞれ 
，
に保たれる．
上と下の境界
，
は完全に断熱されるものと仮定する．デフォルトの断熱境界条件を適用する．
流体力学モデル
流体力学モデルでは，境界条件は壁／滑りなし境界条件だけが関わっている．4つすべての境界で，流体に滑りがない固体の壁をモデル化するために流速 
をゼロに設定する．
領域
内の流れ圧力について解くためには，参照圧力が必要となる．ここで，参照圧力 
で左下の点 
を参照点に選ぶ．
PDEモデルを解く
前述の通り，ナビエ・ストークス方程式はブシネスク近似[5]で熱方程式と結合する．浮力は 
軸に平行なので，(6)のソース項は 
と設定する．
速度が圧力よりも高次で補間されるなら，安定解を見付けることができる．NDSolveを使うと各従属変数の補間次数を指定することができる．ここで速度 
および 
，温度 
を二次補間し，圧力 
を一次補間する．
後処理と可視化
流体流れないの熱移動を調べるために，次の可視化で結果の速度流線と温度分布を組み合せる．
自然対流の量を測定するために，境界
で熱流 
を計算する．
が高いほど対流は強い．
上と下の境界は断熱されているので，エネルギー保存に従うと，左の境界
を通る熱流 
は右の境界
を通る熱流と等しいはずである．したがって，熱流 
は
か
のいずれかで計算することができる．
この場合空洞を通過する熱流は 
で求められる．この値は[7]で示された参照値 
に一致する．
更新された熱移動モデルを効率的に解くために，新しい解の最初の見込みとして前の解を使うことができる．前の解に基づく初期シードは最終的な解にすでに近いため，非線形ソルバは数ステップで収束し，その結果経過時間は少なくなる．
レイリー数
が増加すると，対流の原動力（浮力）は流体運動の抵抗力（粘度）と比べて増大する．そこでより強い対流が生じる．
空洞を通過する熱流は 
から 
に増大した．これは領域内のより強い対流熱移動を意味する．この更新された熱流値も[8]で示された参照値 
と一致する．
用語集
参考文献
1. D. de Vahl Davis and I. P. Jones. Natural Convection of Air in a Square Cavity - A Comparison Exercise, Int. J. Numer. Meth. Fluids. vol. 3 (1983).