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AsymptoticSolve

AsymptoticSolve[eqn,yb,x->a]

计算方程 eqn 的解 y[x] 经过 {a,b} 的渐近逼近.

AsymptoticSolve[eqn,{y},x->a]

计算方程 eqn 的解 y[x] 在 x 靠近 a 处的渐近逼近.

AsymptoticSolve[eqns,{y₁,y₂,…}{b₁,b₂,…},{x₁,x₂,…}{a₁,a₂,…}]

计算方程式系统 eqns 的解 {y₁[x₁,x₂,…],y₂[x₁,x₂,…],…} 的渐进逼近.

AsymptoticSolve[eqns,…,{{x₁,x₂,…},{a₁,a₂,…},n}]

计算 n 阶的渐近逼近.

AsymptoticSolve[…,Reals]

仅计算实参数的实值解.

更多信息和选项

渐近逼近通常用于求解无法找到精确解的问题，或者为计算、比较和解释寻求更简单的答案.
AsymptoticSolve[eqn,…,xa] 计算 eqn 的渐近展开式中的首项. 用 SeriesTermGoal 可指定计算更多的项.
渐近逼近 y_n[x] 常以和 y_n[x]α_kϕ_k[x] 的形式给出，其中 {ϕ₁[x],…,ϕ_n[x]} 是当 xa 时的渐近尺度 ϕ₁[x]≻ϕ₂[x]≻⋯>ϕ_n[x]. 则当 xa 时，结果满足 AsymptoticLess[y[x]-y_n[x],ϕ_n[x],xa] 或 y[x]-y_n[x]∈o[ϕ_n[x]].
常见的渐近尺度包括：
Taylor 尺度，当 xa 时

Laurent 尺度，当 xa 时

Laurent 尺度，当 x±∞ 时

Puiseux 尺度，当 xa 时
用于表示渐近逼近的尺度是从问题中自动推断出来的，通常可以包含更多的奇异尺度.
中心坐标 a 和 b 可以为任意有限或无限大实数或复数.
阶数 n 必须为一个正整数，指定渐近解的近似阶数. 与多项式的次数无关.
方程组 eqns 可为方程的任意逻辑组合.
可以给出以下选项：

	Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
	Direction	Automatic	x 接近 a 的方向
	GenerateConditions	Automatic	是否给出与参数的条件有关的答案
	Method	Automatic	所用的方法
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
	SeriesTermGoal	Automatic	近似式的项数

Direction 的可能设置包括：

	Reals 或 "TwoSided"	从两个实方向
	"FromAbove" 或 -1	从上面或较大的值
	"FromBelow" 或 +1	从下面或较小的值
	Complexes	从所有复方向
	Exp[ θ]	从方向
	{dir₁,…,dir_n}	对变量 x_i 分别使用方向 dir_i

在 x^* 处的 DirectionExp[ θ] 表示接近极限点 x^* 的曲线的方向切线.

对于 a 的有限值，Automatic 设置表示从上面接近.
如果指定了域 Reals，则当 x 从 Direction 逼近 a 时，解为实数.
GenerateConditions 的可能设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticSolve 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (5)

求经过点 {0,0} 的解的渐近逼近：

求 x 靠近 0 处的解的渐近逼近：

求时解的渐近逼近的首项：

仅求当 x 从上面逼近 0 时的实值解：

求方程组的解的渐近逼近：

范围 (18)

二维空间中的一维解 (8)

通过指定点的多项式方程的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的解析方程的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的多项式方程的 Puiseux 级数解：

当 x 从上面逼近 0 时的实值解：

当 x 从下面逼近 0 时的实值解：

通过指定点的解析方程的 Puiseux 级数解：

通过指定点的渐近级数解：

多项式方程在自变量的指定值附近的解：

无穷处的实渐近级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

含有符号参数的方程：

可能会对参数产生条件：

n (5) 维空间中的一维解

通过指定点的多项式方程组的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的解析方程组的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的多项式方程组的 Puiseux 级数解：

当 t 从上面逼近 0 时没有解是实数：

当 t 从下面逼近 0 时有两个解是实数：

多项式方程组在自变量的指定值附近的解：

含有符号参数的方程：

n (5) 维空间中的高维解

通过指定点的多项式方程的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的解析方程的幂级数解：

绘制渐近解及其要近似的解：

通过指定点的多项式方程组的幂级数解：

通过指定点的解析方程组的幂级数解：

多项式方程组在自变量的指定值附近的幂级数解：

选项 (9)

Assumptions (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

不同的假设给出不同的结果：

Direction (3)

默认情况下，AsymptoticSolve 当 x 从上面逼近 0 时的解：

这里给出的是当 x 从下面逼近 0 时的解：

复数解也可能取决于方向：

这里给出的是当 x 从复方向逼近 0 时的实数解：

GenerateConditions (3)

默认情况下，AsymptoticSolve 对能给出结果的情况产生条件：

这里给出没有假定条件下的解：

默认情况下，不报告通常为真的假设条件：

当设置为 GenerateConditions->True 时，所有条件都要报告：

当设置为 GenerateConditions->None 时，AsymptoticSolve 只返回通常情况下有效的解：

如果需要非通用条件，AsymptoticSolve 不执行任何计算，直接返回：

Method (1)

只要结果是幂级数或 Puiseux 级数，就返回级数：

验证级数解满足方程：

SeriesTermGoal (1)

默认情况下，AsymptoticSolve[eqn,…,xa] 计算解的首项：

用 SeriesTermGoal 获得更多项：

应用 (12)

隐函数 (3)

方程隐式定义了附近的两个不同的函数 . 计算这两个函数在附近的三阶渐近近似：

根据这些扩展式定义函数：

在点处，这两个函数有不同的值：

但在处都满足方程：

可视化方程式及其两个分支的近似值：

在这种情况下，很容易精确求解两个隐式定义的函数：

AsymptoticSolve 返回的两个表达式是精确解的级数：

计算单位圆在处的二阶渐近近似：

近似值在这些常点处与取较大和较小值时圆的轨迹密切相符：

在奇点处，近似使用的是分数幂：

由下图可见，近似只对的值有定义：

这是因为在处，函数从实数变为纯虚数：

求实数解的尝试因此失败：

但是，如果限制为较小的值，则有可能找到纯实数表达式：

曲线无限多次穿过直线 . 在通过垂直线测试（任何垂直线只与曲线相交一次；没有垂直线多次与该部分相交）的部分，隐式定义了一个函数：

计算经过原点的部分曲线的近似：

注意这与（的反函数）的泰勒级数相符：

计算经过点的部分曲线的近似：

可视化曲线和两个近似：

摄动方程 (2)

求摄动多项式方程的解：

绘制渐近解及其要近似的解：

研究小扰动下解析方程解的行为：

绘制渐近解及其要近似的解：

方程的级数解 (2)

求方程在非奇点处的级数解：

关于的导数在处不为零：

求五阶级数解：

结果满足方程：

求方程组在非奇点处的多元级数解：

关于的 Jacobian 在处不为零：

求三阶级数解：

结果满足方程：

曲线的渐近近似 (3)

求代数平面曲线的奇点附近的 Puiseux 级数解：

绘制 0 附近的渐近解及它们要近似的曲线：

求代数空间曲线的奇点附近的 Puiseux 级数解：

绘制渐近解：

用渐近解作为起始点求数值解：

比较数值解和渐近解：

将曲线显示为两个曲面的相交处：

近似 0 附近的 Fermat 螺旋线：

比较两条曲线：

物理问题的渐近解 (2)

解开普勒方程，求用平近点角表示的偏近点角：

与偏心率时的精确解相比较：

研究宽度为、深度为的一维盒中质量为的粒子的能级. 下面给出了不含时薛定谔方程在盒子左边的解、盒子中的解和盒子右边的解、和：

解在盒子的边界上必须连续可微：

如果它们的系数矩阵是奇异的，则均匀线性方程允许有非零解：

假设和为 1，选择使得的单位：

求时可能的能级：

计算附近的渐近解：

比较渐近解和最小精确解：

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