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BellB

给出贝尔数 .

BellB[n,x]

给出贝尔多项式 .

更多信息

数学函数，适用于符号和数值运算.
贝尔多项式满足生成函数关系 $e^((e^t-1)x)=sum_(n=0)^(infty)(TemplateBox[{n, x}, BellB2]t^n)/(n!)$ .
贝尔函数由给出.
对于某些特殊自变量而言，BellB 自动计算精确值.
BellB 可以计算到任意数值精确度.
BellB 自动线性作用于列表.

背景

BellB 是一个返回贝尔数或多项式的数学函数. 尤其是，BellB[n,x] 返回第个贝尔多项式，BellB[n] 返回第个贝尔数 . 贝尔多项式可以根据指数生成函数确定. 贝尔数也满足递归关系 $B_(n+1)=sum_(k=0)^nTemplateBox[{n, k}, Binomial]B_k$ . 前几个贝尔多项式是，其中前几个贝尔数是 .
贝尔多项式也称之为指数多项式或更确切“完整指数贝尔多项式”，有时表示为 . 贝尔多项式是根据数学家和数学诠释者 Eric Temple Bell 命名的，他在 1934 年写的.
多项式的诠释是如果有的分区成部分，那么 . 而且，如果有的个全部分区，那么 . 例如，假定，集合有个元素可以分成个部分和种形式；个部分和种形式 ()；个部分和种形式 (、和 ) 以及个部分和种形式 (). 因为有 5 种形式分区，所以 .
贝尔多项式和贝尔数是 BellY 函数的特殊形式，其中 $TemplateBox[{n, x}, BellB2]=sum_(k=0)^nY_(n,k)(x,...,x)$ 且 . 让表示第二种的 Stirling 数，由 StirlingS2、 $B_n=B_n(1)=sum_(k=0)^nTemplateBox[{n, k}, StirlingS2]$ 返回.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

第十贝尔数：

第五贝尔多项式：

范围 (5)

数值计算：

输出精度与输入精度一致：

BellB 按元素线性作用于列表：

BellB 可用于幂级数：

TraditionalForm 格式输出：

应用 (4)

BellB 数相对于其渐进：

计算前 10 个补余贝尔数：

与第二类斯特灵数的表达式进行比较：

在前几种情况下，用海森堡（Hessenberg）行列式验证贝尔数的表达式：

贝尔数 BellB[n] 可描述为唯一的一组数字，使得由这些数字组成的两个特定汉克尔行列式都等于 BarnesG[n+2]. 对前几种情况进行验证：

属性和关系 (7)

BellB 的指数母函数：

与显式求和公式比较

Sum 可以给出包含 BellB 的结果：

PoissonDistribution 的矩量由贝尔多项式在它的均值中给出：

用 FullSimplify 化简包含 BellB 的表达式：

直接由集划分计算贝尔数：

使用 IntegerPartitions 对满足指标约束的项直接求和：

与 BellB 的结果比较：

利用广义贝尔多项式计算贝尔数：

利用广义贝尔多项式计算贝尔多项式：

FindSequenceFunction 可以识别 BellB 序列：

可能存在的问题 (1)

BellB 的第一个自变量必须是一个非负值整数：

巧妙范例 (1)

Cesàro 的贝尔数积分表示：

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