CharacteristicPolynomial

CharacteristicPolynomial[m,x]

行列 m の固有多項式を与える．

CharacteristicPolynomial[{m,a},x]

a についての一般化された固有多項式を与える．

詳細

  • m は正方行列でなければならない．
  • 数値と記号の両方が記入できる．
  • CharacteristicPolynomial[m,x]は，基本的にDet[m-id x]に等しい．ただし，id は適切な大きさの単位行列である． »
  • CharacteristicPolynomial[{m,a},x]は，基本的にDet[m-a x]である． »

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (3)

整数項を持つ行列の固有多項式を求める：

多項式を可視化する：

記号行列 の についての固有多項式を求める：

直接計算したものと比較する：

恒等行列と零行列の固有多項式を比較する：

スコープ  (15)

基本的な用法  (7)

機械精度行列の固有多項式を求める：

任意精度の多項式：

複素行列の固有多項式：

厳密な固有多項式：

結果を可視化する：

大きい数値行列の固有多項式は効率的に計算される：

有限体の元を含む行列の固有多項式：

CenteredInterval行列の固有多項式：

m のランダムな代表 mrep を求める：

p の係数には mrep の固有多項式の係数が含まれていることを確認する：

一般化された固有値  (4)

一般化された固有多項式 ：

一般化された機械精度の固有多項式：

一般化された厳密固有多項式を求める：

項の不在は一般化された無限固有値を示唆する：

有限精度で結果を計算する：

記号行列の一般化された固有多項式を求める：

特殊行列  (4)

疎な行列の固有多項式：

構造化行列の固有多項式：

固有多項式IdentityMatrixは二項展開である：

HilbertMatrixの固有多項式：

アプリケーション  (6)

行列 の固有多項式を求め，，，のときの挙動を比較する：

根を調べると， とは独立で に根があることが分かる：

のときは，における根が繰り返される：

のときは，異なる3つの実根がある：

のときは，が唯一の実根で，他に2つある根は複素共役対である：

における重根の「弾み」にズームして3つの多項式を可視化する：

行列の行列式を固有多項式の定数項として計算する：

を代入する：

結果は固有多項式の根の積でもある：

Detを使って直接計算した場合と比較する：

行列のトレースを固有多項式で次数が2番目に高い累乗項の係数として計算する：

の係数を抽出する． は行列の高さまたは幅である：

結果は固有多項式の根の和でもある：

Detを使って直接計算した場合と比較する：

行列の固有値を固有多項式の根として求める：

Eigenvaluesを使って直接計算した場合と比較する：

固有多項式を使って行列 と TemplateBox[{a}, Transpose]の固有値と固有ベクトルを求める：

2つの行列は同じ固有多項式を持つ：

したがって2つの行列は同じ固有値を持つが，これは多項式の根である：

固有ベクトルは の零空間で与えられる：

Eigensystemも同じ結果を与えるが，固有値を絶対値でソートする：

TemplateBox[{a}, Transpose]は と同じ固有値を持つが，固有ベクトルは異なる：

固有ベクトルの2つの集合を可視化する：

の についての一般化された固有系を固有多項式の根として求める：

一般化された固有多項式の根は一般化された固有値である：

一般化された固有ベクトルは の零空間で与えられる：

Eigensystemを使って直接計算した場合と比較する：

特性と関係  (8)

固有多項式はDet[m-id x]に等しい：

一般化された固有多項式はDet[m-a x]に等しい：

行列はその固有多項式の根である（ケーリー・ハミルトン(Cayley-Hamilton)の定理 [詳細]）：

多項式を m において行列演算で評価する：

より効率のよいホーナー(Horner)法で多項式を評価する：

が固有値であるは固有多項式に等しい：

固有多項式の根の和は行列のトレース(Tr)である：

同様に，根の積は行列式(Det)である：

行列とその共役は同じ固有多項式を持つ：

共通の対角を持つ三角行列はどれも同じ固有多項式を持つ：

がモニック多項式のとき，その同伴行列の固有多項式はである：

同伴行列を形成する：

Wolfram Research (2003), CharacteristicPolynomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2003), CharacteristicPolynomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2003. "CharacteristicPolynomial." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html.

APA

Wolfram Language. (2003). CharacteristicPolynomial. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_characteristicpolynomial, author="Wolfram Research", title="{CharacteristicPolynomial}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_characteristicpolynomial, organization={Wolfram Research}, title={CharacteristicPolynomial}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/CharacteristicPolynomial.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}