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CharacteristicPolynomial

CharacteristicPolynomial[m,x]

给出矩阵 m 的特征多项式.

CharacteristicPolynomial[{m,a},x]

给出关于 a 的广义特征多项式.

更多信息

m 必须是一个方阵.
它可以包含数值或符号项.
CharacteristicPolynomial[m,x] 实际上等价于 Det[m-id x]，其中 id 是适当尺寸的单位矩阵. »
CharacteristicPolynomial[{m,a},x] 实际上是 Det[m-a x]. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

求其中的项为整数的矩阵的特征多项式：

可视化多项式：

求符号矩阵的特征多项式，以表示：

与直接计算的结果相比较：

计算单位矩阵和零矩阵的特征多项式：

范围 (15)

基本用法 (7)

求及其精度矩阵的特征多项式：

任意精度的多项式：

一个复矩阵的特征多项式：

精确的特征多项式：

可视化结果：

高效计算大型数值矩阵的特征多项式：

具有有限场元素的矩阵的特征多项式：

CenteredInterval 矩阵的特征多项式：

找出 m 的随机表示 mrep：

验证 p 的系数包含 mrep 的特征多项式的系数：

广义特征值 (4)

广义特征多项式：

广义的机器精度的特征多项式：

求广义的精确的特征多项式：

项的缺失表示无限大的广义特征值：

与有限精度的结果相比较：

求符号矩阵的广义特征多项式：

特殊矩阵 (4)

系数矩阵的特征多项式：

结构化矩阵的特征多项式：

IdentityMatrix 的特征多项式是二项展开式：

HilbertMatrix 的特征多项式：

应用 (6)

求矩阵的特征多项式，并比较、和时的行为：

查看根，在处有一个与无关的根：

对于，处的根重复出现：

对于，有三个不同的实根：

对于，是唯一的实根，另外两个根是复共轭对：

可视化三个多项式，放大在双根处的“反弹”：

计算矩阵的行列式，以作为其特征多项式中的常数项：

将代入：

这个结果也是特征多项式的根的乘积：

与用 Det 直接计算的结果相比较：

计算矩阵的迹，以作为特征多项式中幂次次高的项的系数：

提取的系数，其中是矩阵的高度或宽度：

这个结果也是特征多项式的根之和：

与用 Tr 直接计算的结果相比较：

求矩阵的特征值，以作为特征多项式的根：

与用 Eigenvalues 直接计算的结果相比较：

用特征多项式求矩阵和的特征值和特征向量：

这两个矩阵具有相同的特征多项式：

因此，它们都将具有相同的特征值，即多项式的根：

特征向量由的零空间给出：

Eigensystem 给出相同的结果，尽管它按绝对值对特征值进行排序：

尽管与的特征值相同，但特征向量不同：

可视化两组特征向量：

求相对于的广义特征系统，以作为特征多项式的根：

广义特征多项式的根是广义特征值：

广义特征向量由的零空间给出：

与用 Eigensystem 直接计算的结果相比较：

属性和关系 (8)

特征多项式等价于 Det[m - id x]：

广义的特征多项式等价于 Det[m-a x]:

矩阵是其特征多项式的一个根 (Cayley–Hamilton 定理 [更多信息...]):

用矩阵算法计算在 m 的多项式：

用更有效的 Horner 方法计算多项式：

，等价于特征多项式，其中是特征值：

特征多项式的根的和是矩阵的迹 (Tr):

同样，根的积是行列式 (Det)：

矩阵及其转置具有相同的特征多项式：

所有对角线元素相同的三角矩阵的特征多项式都一样：

如果是一个首一多项式，则其伴随矩阵的特征多项式是：

形成伴随矩阵：

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