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HessenbergDecomposition

HessenbergDecomposition[m]

给出数值矩阵 m 的 Hessenberg 分解.

更多信息和选项

矩阵 m 必须是方阵.
结果以 {p,h} 的形式给出，其中 h 是上海森堡矩阵，p 是酉矩阵，使得 p.h.ConjugateTranspose[p]==m.
上海森伯格矩阵满足时的条件. 也就是说，其第一对角线以下的所有项都为零.
设置 TargetStructure->"Structured"，HessenbergDecomposition[m] 以结构化矩阵的形式返回矩阵 {p,h}.

范例

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基本范例 (1)

找出 4×4 矩阵的海森伯格分解：

矩阵是上海森伯格矩阵，这意味着其在第一个下对角线下方只有零项：

验证为酉矩阵且：

范围 (9)

基础用法 (5)

求机器精度矩阵的海森伯格分解：

格式化结果：

复矩阵的海森伯格分解：

任意精度矩阵的海森伯格分解：

必须对精确矩阵进行数字化才能用于 HessenbergDecomposition：

高效计算大型数值矩阵的海森伯格分解：

特殊矩阵 (4)

求稀疏矩阵的海森伯格分解：

结构化矩阵的海森伯格分解：

单位矩阵的海森伯格分解由两个单位矩阵组成：

HilbertMatrix 的海森伯格分解：

选项 (2)

TargetStructure (2)

实数矩阵：

设置 TargetStructure->"Dense"，则 HessenbergDecomposition 的结果是是两个稠密矩阵的列表：

设置 TargetStructure->"Structured"，则 HessenbergDecomposition 的结果是一个包含 OrthogonalMatrix 和 SparseArray 的列表：

复矩阵：

设置 TargetStructure->"Dense"，则 HessenbergDecomposition 的结果是两个稠密矩阵的列表：

设置 TargetStructure->"Structured"，则 HessenbergDecomposition 的结果是包含一个 UnitaryMatrix 和一个 SparseArray 的列表：

应用 (2)

海森伯格分解对于埃尔米特矩阵特别有用，因为生成的矩阵是三对角矩阵. 生成一个随机的 6×6 埃尔米特矩阵：

验证该矩阵为埃尔米特矩阵：

计算海森伯格分解：

若忽略小的数值误差，矩阵显然是三对角矩阵：

若某矩阵同时是上海森伯格和下海森伯格矩阵，则该矩阵为三对角矩阵. 以下显示了 Chop 丢弃的小数实际上为数值不显著：

计算舒尔分解的一种简单方法是未移位 QR 算法. 从开始，在每个阶段计算的 QR 分解，然后令 $t_(k+1)=r.TemplateBox[{q}, Transpose]$ . 在极限下，收敛到所需的矩阵（对于表现良好的输入矩阵）. 加速这个算法的一个修改是让成为海森伯格分解的矩阵. 因为这么多项都已经为零，所以每个 QR 步骤都快得多. 探索随机生成的 25×25 实对称矩阵：

矩阵为实值且对称矩阵：

使用 QRDecomposition 对未移位的 QR 算法进行 2000 次迭代：

由于的特征值是实数，其构成了的对角线，直到小数值误差：

首先计算的海森伯格分解的修改速度大约是原来的两倍：

其也产生较小的数值误差：

属性和关系 (7)

随机 4×4 矩阵：

计算它的海森伯格分解：

矩阵是单模的：

矩阵是上海森伯格矩阵：

初始矩阵由 p.h.ConjugateTranspose[p] 给出：

对于上海森伯格矩阵 h，HessenbergDecomposition[h] 返回：

所有 2×2 矩阵都是上海森伯格矩阵，因此 HessenbergDecomposition 的返回不变：

Det[m] 等于 HessenbergDecomposition[m] 的矩阵的行列式：

Tr[m] 等于 HessenbergDecomposition[m] 的矩阵的迹：

埃尔米特矩阵的海森伯格分解是三对角矩阵：

海森伯格和舒尔分解都将实矩阵简化为海森伯格矩阵：

HessenbergDecomposition 基于行运算并保留左上角：

SchurDecomposition 基于特征值；对角线下方的项表示复数值：

可能存在的问题 (1)

HessenbergDecomposition 仅仅对近似数值矩阵有效：

对精确矩阵使用 JordanDecomposition：

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