HolderModel

ゼロ次ホールドの単一入力単一出力のモデルを表す．

HolderModel[specs]

ホールダーを指定 specs で表す．

詳細

HolderModelは，ゼロ次ホールド(ZOH)，一次ホールド(FOH)，逆サンプリングとしても知られている．
HolderModelは，通常，物理世界または物理世界のモデルを使用して動作する場合に，デジタルのマイクロコントローラあるいはデジタル信号プロセッサからの離散時間信号を連続時間信号に変換するために使われる．

ホールダーは，整数について定義された離散時間信号を取って連続時間信号を生成する．はサンプリング周期である．これは，サンプル間で値を一定に保つ．

指定 spec は連想であり，以下のキーを持つことができる．

"InputVariables"	{u[t]}	入力変数
"Order"	0	ホールド次数，非負の整数
"OutputVariables"	{y[t]}	出力変数
"SamplingPeriod"	1	サンプリング周期
"SignalCount"	1	入出力の数
"TemporalVariable"	t	一時変数

"Order"特性は，使用する外挿次数を指定する．次外挿器は個のそれまでの点を使って次数の補間多項式を導出する．この多項式は，次のサンプリング周期で値を外挿するために使われる．

HolderModel[…]["prop"]を使ってモデルのさまざまな特性が入手できる．
"prop"の値は spec の任意のキーあるいは以下でよい．

	"Properties"	特性名のリスト
	"PropertyAssociation"	連想としての特性の名前と値
	"PropertyDataset"	データ集合としての特性の名前と値
	{p₁,p₂,…}	特性 p_iの値

例題

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例 (2)

ゼロ次ホールド(ZOH)モデル：

Wolfram Language code: HolderModel[]

その特性：

Wolfram Language code: %["PropertyDataset"]

ZOHの正弦波入力に対する応答のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: r = InputOutputResponse[HolderModel[], Table[Sin[t], {t, 0, 3π}]]

応答と入力列をプロットする：

Wolfram Language code: Show[Plot[r, {, 0, 3π}], ListPlot[Table[{t, Sin[t]}, {t, 0, 3π}], IconizedObject[«opts»]]]

スコープ (9)

ゼロ次ホールドモデル：

Wolfram Language code: HolderModel[]

一次ホールド：

Wolfram Language code: HolderModel[<|"Order" -> 1|>]

カスタム特性を持ったホールド：

Wolfram Language code: HolderModel[<|"InputVariables" -> u[t], "OutputVariables" -> y[t], "TemporalVariable" -> t|>]

Wolfram Language code: %["Dataset"]

使用可能な全特性をリストする：

Wolfram Language code:

HolderModel[Association["DiscreteVariables" -> {Subscript[, 1][t]}, "InputVariables" -> {u[t]}, 
  "OutputVariables" -> {y[t]}, "InitialStateValues" -> {}, "TemporalVariable" -> t, 
  "WhenEvent" -> Mod[t, 1] == 0, "WhenEventAction" -> {Subscript[ ... tion", "StateEquations", 
    "OutputExpressions", "SignalCount", "Type", "PropertyFunction", "Order", "SamplingPeriod", 
    "SummaryItems"}], {"InputVariables", "Order", "OutputVariables", "SamplingPeriod", 
  "SignalCount", "TemporalVariable"}]["Properties"]

特定の特性を取得する：

Wolfram Language code:

HolderModel[Association["DiscreteVariables" -> {Subscript[, 1][t]}, "InputVariables" -> {u[t]}, 
  "OutputVariables" -> {y[t]}, "InitialStateValues" -> {}, "TemporalVariable" -> t, 
  "WhenEvent" -> Mod[t, 1] == 0, "WhenEventAction" -> {Subscript[ ... tion", "StateEquations", 
    "OutputExpressions", "SignalCount", "Type", "PropertyFunction", "Order", "SamplingPeriod", 
    "SummaryItems"}], {"InputVariables", "Order", "OutputVariables", "SamplingPeriod", 
  "SignalCount", "TemporalVariable"}]["SamplingPeriod"]

複数の特性を取得する：

Wolfram Language code:

HolderModel[Association["DiscreteVariables" -> {Subscript[, 1][t]}, "InputVariables" -> {u[t]}, 
  "OutputVariables" -> {y[t]}, "InitialStateValues" -> {}, "TemporalVariable" -> t, 
  "WhenEvent" -> Mod[t, 1] == 0, "WhenEventAction" -> {Subscript[ ... tion", "StateEquations", 
    "OutputExpressions", "SignalCount", "Type", "PropertyFunction", "Order", "SamplingPeriod", 
    "SummaryItems"}], {"InputVariables", "Order", "OutputVariables", "SamplingPeriod", 
  "SignalCount", "TemporalVariable"}][{"Order", "SignalCount"}]

特性を連想として取得する：

Wolfram Language code:

HolderModel[Association["DiscreteVariables" -> {Subscript[, 1][t]}, "InputVariables" -> {u[t]}, 
  "OutputVariables" -> {y[t]}, "InitialStateValues" -> {}, "TemporalVariable" -> t, 
  "WhenEvent" -> Mod[t, 1] == 0, "WhenEventAction" -> {Subscript[ ... tion", "StateEquations", 
    "OutputExpressions", "SignalCount", "Type", "PropertyFunction", "Order", "SamplingPeriod", 
    "SummaryItems"}], {"InputVariables", "Order", "OutputVariables", "SamplingPeriod", 
  "SignalCount", "TemporalVariable"}]["PropertyAssociation"]

データ集合として：

Wolfram Language code:

HolderModel[Association["DiscreteVariables" -> {Subscript[, 1][t]}, "InputVariables" -> {u[t]}, 
  "OutputVariables" -> {y[t]}, "InitialStateValues" -> {}, "TemporalVariable" -> t, 
  "WhenEvent" -> Mod[t, 1] == 0, "WhenEventAction" -> {Subscript[ ... tion", "StateEquations", 
    "OutputExpressions", "SignalCount", "Type", "PropertyFunction", "Order", "SamplingPeriod", 
    "SummaryItems"}], {"InputVariables", "Order", "OutputVariables", "SamplingPeriod", 
  "SignalCount", "TemporalVariable"}]["PropertyDataset"]

一次ホールドの正弦波列に対する応答のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: Short[r1 = InputOutputResponse[HolderModel[<|"Order" -> 1|>], Table[Sin[t], {t, 0, 2.5π}]]]

応答を列をプロットする：

Wolfram Language code: Show[Plot[r1, {, 0, 2.5π}, PlotRange -> All], ListPlot[Table[{t, Sin[t]}, {t, 0, 2.5π}], IconizedObject[«opts»]]]

サンプリング周期を短くして正弦波のよりよい近似を得る：

Wolfram Language code:

Short[r2 = InputOutputResponse[HolderModel[<|"Order" -> 1, "SamplingPeriod" -> 0.5|>], Table[Sin[t], {t, 0, 2.5π, 0.5}]]]

よい近似の応答と入力列をプロットする：

Wolfram Language code:

Show[Plot[r2, {, 0, 2.5π}, PlotRange -> All], ListPlot[Table[{t, Sin[t]}, {t, 0, 2.5π, 0.5}], IconizedObject[«opts»]]]

サンプリング周期が短いとよりよい近似になる：

Wolfram Language code: NIntegrate[Abs /@ {Sin[] - r1[[1]], Sin[] - r2[[1]]}, {, 0, 2.5π}]

アプリケーション (1)

ホールダーモデルは，サンプリングされたデータ系の下位の系である：

Wolfram Language code:

csys = SystemsConnectionsModel[{TransferFunctionModel[{{{1.}}, (1 + s)^3}, s], 
  TransferFunctionModel[{{{4.539074548064891 - 9.145098981931369* + 4.606282997931085*^2}}, 
    {{0.23358983848622455 - 0.5071796769724491* + 0.2735898384862246*^2}}}, , ... ummaryItems"}], {"InputVariables", "OutputVariables", "SamplingPeriod", "SignalCount", 
    "TemporalVariable"}]}, {{4, 1} -> {3, 1}, {3, 1} -> {2, 1}, {2, 1} -> {5, 1}, {5, 1} -> {1, 1}, 
  {1, 1} -> {6, 1}, {6, 1} -> {3, 2}}, {{4, 1}}, {{1, 1}}];

系のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: r = InputOutputResponse[csys, 1, {t, 0, 10}]

応答をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[r, {t, 0, 10}]

特性と関係 (3)

サンプル採取器モデルは，本質的に，時間に基づく動作である：

Wolfram Language code:

u = Tanh[t];
sp = 0.5;

WhenEventに基づく応答：

Wolfram Language code:

r1 = NDSolveValue[{WhenEvent@@{Mod[t, sp] == 0, y[t] -> u}, y[0] == 0, Derivative[1][$][t] == 0, $[0] == 0}, y[t], {t, 0, 5}, DiscreteVariables -> {y[t]}]

サンプル採取器モデルの応答：

Wolfram Language code: r2 = InputOutputResponse[SamplerModel[<|"SamplingPeriod" -> sp|>], u, {t, 0, 5}]

両者は等しい：

Wolfram Language code: Plot[{r1, r2}, {t, 0, 5}, PlotRange -> All]

一次ホールドは，現在と前の入力値の線形補間に基づいている：

Wolfram Language code:

u = Tanh[t];
sp = 0.5;

変数は現行入力値では前の入力の値であり，は経過時間の合計である：

Wolfram Language code: action = {Subscript[x, 1][t], Subscript[x, 2][t], 𝒯[t]} -> {u, Subscript[x, 1][t], 𝒯[t] + sp};

離散変数の，，は各サンプリング時に更新される：

Wolfram Language code: we = WhenEvent@@{Mod[t, sp] == 0, action}

線形補間の傾斜と切片について解く：

Wolfram Language code: sol = Solve[{Subscript[x, 1][t] == m 𝒯[t] + c, Subscript[x, 2][t] == m(𝒯[t] - sp) + c}, {m, c}]

出力式：

Wolfram Language code: out = m t + c /. sol//Simplify

出力信号について解く：

Wolfram Language code:

r1 = NDSolveValue[{we, Derivative[1][$][t] == 0, $[0] == 0, Subscript[x, 1][0] == 0, Subscript[x, 2][0] == 0, 𝒯[0] == 0}, out, {t, 0, 5}, DiscreteVariables -> {Subscript[x, 1][t], Subscript[x, 2][t], 𝒯[t]}]

ホールダーモデルを使った解：

Wolfram Language code: r2 = InputOutputResponse[HolderModel[<|"SamplingPeriod" -> sp, "Order" -> 1|>], u, {t, 0, 5}]

両者は等しい：

Wolfram Language code: Plot[{r1, r2}, {t, 0, 5}, PlotRange -> All]

ホールダーモデルはサンプル採取器モデルの操作を逆にする：

Wolfram Language code:

f = 3;
u = Sech[f t];
sp = 1 / ( 50f);

ホールダーモデルと直列のサンプル採取器モデル：

Wolfram Language code:

sys = SystemsConnectionsModel[{SamplerModel[<|"SamplingPeriod" -> sp|>], HolderModel[<|"SamplingPeriod" -> sp|>]}, {{1, 1} -> {2, 1}}, {{1, 1}}, {{2, 1}}]

出力信号は入力信号に等しい：

Wolfram Language code:

InputOutputResponse[sys, u, {t, 0, π}];
Plot[{u, %[[1]]}, {t, 0, π}, PlotRange -> All]

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