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InhomogeneousPoissonProcess[λ[t],t]

t の関数として与えられる強度が λ[t]の，非同次ポアソン(Poisson)過程を表す．

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InhomogeneousPoissonProcess

InhomogeneousPoissonProcess[λ[t],t]

t の関数として与えられる強度が λ[t]の，非同次ポアソン(Poisson)過程を表す．

詳細

例題

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例  (3)

非同次ポアソン過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t], {0, 20}];
Wolfram Language code: ListStepPlot[data, Filling -> Axis]

平均値関数と分散関数：

Wolfram Language code: Mean[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][t]]
Wolfram Language code: Variance[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][t]]

共分散関数：

Wolfram Language code: CovarianceFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + t ^ 2, t], s, w]
Wolfram Language code: Plot3D[Evaluate@CovarianceFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + t ^ 2, t], s, w], {s, 1, 10}, {w, 1, 10}, ColorFunction -> "Rainbow", PlotRange -> All, AxesLabel -> Automatic]

スコープ  (10)

基本的な用法  (5)

経路集合のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[InhomogeneousPoissonProcess[(2 + Sin[t]) / 4, t], {0, 35}, 4]
Wolfram Language code: ListStepPlot[data, Filling -> Axis]

任意精度でシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: RandomFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t], {4}, WorkingPrecision -> 20]["Path"]

さまざまな強度関数について経路を比較する：

Wolfram Language code: f1[t_] = t; f2[t_] = 2 + 1 / (1 + t ^ 2); f3[t_] = (3 + Cos[t]) / 7;
Wolfram Language code: sample := (SeedRandom[3];RandomFunction[InhomogeneousPoissonProcess[#[t], t], {10}]&);
Wolfram Language code: ListStepPlot[sample[#], Filling -> Axis, PlotLabel -> #]& /@ {f1, f2, f3}

相関関数：

Wolfram Language code: CorrelationFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + t, t], s1, s2]
Wolfram Language code: Simplify[%, s1 < s2]

絶対相関関数：

Wolfram Language code: AbsoluteCorrelationFunction[InhomogeneousPoissonProcess[Cos[t] + 2, t], s1, s2]
Wolfram Language code: Simplify[%, s1 < s2]

過程スライス特性  (5)

一変量SliceDistribution：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate@Table[PDF[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + τ ^ 2), τ][t], x], {t, times = {1, 4, 8}}], {x, 0, 30}, PlotLegends -> ("t = " ~~ ToString[#]& /@ times)]
Wolfram Language code: InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][t]

一変量確率密度：

Wolfram Language code: PDF[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][t], x]

複数時間のスライス分布：

Wolfram Language code: SliceDistribution[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t], {1, 3, 7}]//Mean

より高次のPDF：

Wolfram Language code: PDF[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][{1, 3, 7}], {x, y, z}]

式の期待値を計算する：

Wolfram Language code: Expectation[x + E ^ (-x), xInhomogeneousPoissonProcess[2 + t, t][t]]

事象の確率を計算する：

Wolfram Language code: Probability[x[t] ^ 2 < t - 1, xInhomogeneousPoissonProcess[2 + t, t]]

Moment：

Wolfram Language code: 𝒫 = InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t];
Wolfram Language code: Moment[𝒫[t], r]

母関数：

Wolfram Language code: CharacteristicFunction[𝒫[t], w]
Wolfram Language code: MomentGeneratingFunction[𝒫[t], w]

CentralMomentは，記号次数については閉形式をもたない：

Wolfram Language code: CentralMoment[𝒫[t], r]
Wolfram Language code: CentralMoment[𝒫[t], 4]
Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[𝒫[t], w]

FactorialMomentとその母関数：

Wolfram Language code: FactorialMoment[𝒫[t], r]
Wolfram Language code: FactorialMomentGeneratingFunction[𝒫[t], w]

Cumulantとその母関数：

Wolfram Language code: Cumulant[𝒫[t], r]
Wolfram Language code: CumulantGeneratingFunction[𝒫[t], w]

複数時間スライス分布についての共分散：

Wolfram Language code: Covariance[InhomogeneousPoissonProcess[2 + t, t][{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: N[%]//MatrixForm

シミュレーションの結果と比較する：

Wolfram Language code: Covariance[RandomVariate[InhomogeneousPoissonProcess[2 + t, t][{1, 2, 3}], 10 ^ 4]]//N//MatrixForm

アプリケーション  (3)

1時間ごとの顧客率が与えられたとして，小さいファーストフード店における到着過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: arrivalrates = {{0, 8}, {1, 9}, {2, 7}, {4, 6}, {5, 12}, {6, 14}, {7, 11}, {8, 6}, {9, 4}, {10, 3}, {11, 8}, {12, 15}, {13, 12}, {14, 10}, {15, 8}, {16, 6}, {17, 12}, {18, 17}, {19, 15}, {20, 12}, {21, 6}, {22, 5}, {23, 7}};

線形補間を使って到着過程の強度関数を得る：

Wolfram Language code: λ[t_] = Interpolation[arrivalrates, InterpolationOrder -> 1][t];
Wolfram Language code: Plot[λ[t], {t, 0, 23}, Exclusions -> None, Filling -> Axis]

到着についての非同次ポアソン過程を定義する：

Wolfram Language code: 𝒫 = InhomogeneousPoissonProcess[λ[t], t];

1日に200人超の顧客がレストランを訪れる確率：

Wolfram Language code: NProbability[x > 200, x𝒫[23]]

1日の到着過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[𝒫, {0, 23, 1}, 4];
Wolfram Language code: ListStepPlot[data]

シミュレーションを使って，事実上の1時間あたりの顧客の平均来店率を求める：

Wolfram Language code: sim = RandomFunction[𝒫, {0., 23, 1}, 10 ^ 3]; slopes = Map[# / 23.&, sim["LastValues"]]; Mean[slopes]

非同次ポアソン過程の二乗を定義する：

Wolfram Language code: 𝒫 = TransformedProcess[p[t] ^ 2, pInhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t], t];

この過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[𝒫, {0, 30, 1}, 3]
Wolfram Language code: ListStepPlot[data]

この過程スライスの平均と分散：

Wolfram Language code: Mean[𝒫[t]]
Wolfram Language code: Variance[𝒫[t]]

ワイブル(Weibull)故障率強度がある非同次ポアソン過程は，ワイブル・ポアソン過程として知られている：

Wolfram Language code: λ[α_, β_, t_] = Refine[HazardFunction[WeibullDistribution[α, β], t], t > 0]
Wolfram Language code: WeibullPoissonProcess = InhomogeneousPoissonProcess[λ[2 / 3, 1 / 2, t], t]

過程の軌跡のサンプルを取る：

Wolfram Language code: paths = RandomFunction[WeibullPoissonProcess, {0, 30}, 6, Method -> "Direct"]
Wolfram Language code: ListStepPlot[paths]

シミュレーションを使って実質的な1日の平均強度率を求める：

Wolfram Language code: sim = RandomFunction[WeibullPoissonProcess, {0, 30}, 10 ^ 3, Method -> "Direct"]; slopes = Map[# / 30.&, sim["LastValues"]]; Mean[slopes]

比率関数の積分で得られた平均強度率と比較する：

Wolfram Language code: NIntegrate[λ[2 / 3, 1 / 2, t], {t, 0, 30}] / 30

特性と関係  (3)

InhomogeneousPoissonProcessはジャンプ過程である：

Wolfram Language code: path = RandomFunction[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t], {0, 10}]; f = path["PathFunction"]; jumps = path["Times"];
Wolfram Language code: Plot[f[t], {t, 0, 10}, Exclusions -> jumps, ExclusionsStyle -> Red]

非同次ポアソン過程は弱定常ではない：

Wolfram Language code: WeakStationarity[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t]]

平均値関数は一定ではない：

Wolfram Language code: Mean[InhomogeneousPoissonProcess[2 + 1 / (1 + t ^ 2), t][t]]

一定強度の非同次ポアソン過程はPoissonProcessである：

Wolfram Language code: ipp = InhomogeneousPoissonProcess[λ, t];
Wolfram Language code: pp = PoissonProcess[λ];

一変量スライス分布と比較する：

Wolfram Language code: Mean /@ {ipp[t], pp[t]}
Wolfram Language code: Variance /@ {ipp[t], pp[t]}
Wolfram Language code: PDF[#, x]& /@ {ipp[t], pp[t]}

複数スライス特性：

Wolfram Language code: CovarianceFunction[#, s, t]& /@ {ipp, pp}
Wolfram Language code: PDF[#, {x, y}]& /@ {ipp[{s, t}], pp[{s, t}]}

考えられる問題  (1)

シミュレーションメソッドの中には，有界の強度関数を必要とするものがある：

Wolfram Language code: λ[t_] = Abs[Tan[t]] + 1; Plot[λ[t], {t, 0, 3}, PlotRange -> All]
Wolfram Language code: 𝒫 = InhomogeneousPoissonProcess[λ[t], t];

デフォルトの"Thinning"法を使うとうまくいかない：

Wolfram Language code: TimeConstrained[RandomFunction[𝒫, {0, 3}], 1]
Wolfram Language code: TimeConstrained[RandomFunction[𝒫, {0, 3}, Method -> "Thinning"], 1]

反転法も，この強度関数のためにうまくいかない：

Wolfram Language code: RandomFunction[𝒫, {0, 3}, Method -> "Inversion"]

直接法は，遅くはあるが，非有界の強度関数に適している：

Wolfram Language code: RandomFunction[𝒫, {0, 3}, Method -> "Direct"]
Wolfram Language code: ListLinePlot[%, PlotRange -> All]

おもしろい例題  (1)

非同次ポアソン過程からの経路のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: SeedRandom[34];𝒫 = InhomogeneousPoissonProcess[1.1 + Sin[t] / (1 + t ^ 2), t]; data = RandomFunction[𝒫, {0, 50}, 300];

50でスライスを取り，その分布を可視化する：

Wolfram Language code: sd = data["SliceData", 50];
Wolfram Language code: cf = ColorData["Rainbow"]; sliced = BarChart[Last[#], Axes -> False, BarOrigin -> Left, AspectRatio -> 4, ChartStyle -> (cf /@ Rescale[MovingAverage[First[#], 2], {Min[sd], Max[sd]}, {0, 1}]), ImageSize -> 43]&[HistogramList[sd, {Range[Min[sd], Max[sd], (Max[sd] - Min[sd]) / 20]}]];

50におけるスライス分布の経路とヒストグラム分布をプロットする：

Wolfram Language code: ListLinePlot[data, ImageSize -> 400, PlotRange -> All, AspectRatio -> 3 / 4, Epilog -> Inset[sliced, {50.5, 57}, {0, 10.5}], PlotStyle -> (cf /@ Rescale[sd]), BaseStyle -> Thin, PlotRangePadding -> {{0, 20}, {.5, 7}}]
Wolfram Research (2015), InhomogeneousPoissonProcess, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/InhomogeneousPoissonProcess.html.

テキスト

Wolfram Research (2015), InhomogeneousPoissonProcess, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/InhomogeneousPoissonProcess.html.

CMS

Wolfram Language. 2015. "InhomogeneousPoissonProcess." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/InhomogeneousPoissonProcess.html.

APA

Wolfram Language. (2015). InhomogeneousPoissonProcess. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/InhomogeneousPoissonProcess.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_inhomogeneouspoissonprocess, author="Wolfram Research", title="{InhomogeneousPoissonProcess}", year="2015", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/InhomogeneousPoissonProcess.html}", note=[Accessed: 30-October-2026]}

BibLaTeX

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