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OrthogonalMatrix

OrthogonalMatrix[omat]

直交行列 omat を構造化配列に変換する．

詳細とオプション

直交行列は，構造化配列として表されるときは，指定が便利にでき，InverseやLinearSolve等のより効率的な操作が可能になる．
直交行列を含む行列の分解には，QR分解，Hessenberg分解，Schur分解，固有値分解がある．
直交行列の列ベクトルは正規直交なので， $v_i.v_j=TemplateBox[{{i, ,, j}}, KroneckerDeltaSeq]$ である．

正方直交行列は，転置がその逆行列と等しい行列である．つまり，この行列はという関係を満足する．
正方直交行列の逆行列もまた直交行列である．
次元 p×q の行列は，p≥q でが q×q の恒等行列であるか，p≤q でが p×p の恒等行列であるなら直行行列である，
直交行列は行列の乗算の下で閉じているので，もまた直交行列である．
OrthogonalMatrix sa については sa["prop"]で以下の特性"prop"にアクセスできる．

	"Matrix"	完全配列として表される直交行列
	"Properties"	サポートされる特性のリスト
	"Structure"	構造化配列の型
	"StructuredData"	構造化配列に保存されている内部データ
	"StructuredAlgorithms"	構造化配列について特別なメソッドを持つ関数のリスト
	"Summary"	Datasetとして表される要約情報

Normal[OrthogonalMatrix[…]]は直交行列を通常の行列として与える．
OrthogonalMatrix[…,TargetStructure->struct]は直交行列を struct で指定された形式で返す．以下は使用可能な設定である．
Automatic 返す表現を自動的に選択する

"Dense" 行列を密な行列として表す

"Structured" 行列を構造化配列として表す
OrthogonalMatrix[…,TargetStructureAutomatic]はOrthogonalMatrix[…,TargetStructure"Structured"]に等しい．

例題

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例 (1)

直交行列を構築する：

その要素を表示する：

NormalはOrthogonalMatrixをその通常の表現に変換できる：

スコープ (5)

等長変換（反射と回転）に相当する行列は直交行列である：

実数の反射行列は直交行列であり対称行列でもある：

複素直交行列：

この行列は直交行列だがユニタリ行列ではない：

矩形直交行列：

その転置もまた直交行列である：

OrthogonalMatrixオブジェクトは行列についての情報を与える特性を含んでいる：

"Summary"特性は行列についての情報の簡単な要約を与える：

"StructuredAlgorithms"特性は構造化アルゴリズムを持つ関数を列挙する：

オプション (1)

TargetStructure (1)

直交行列を密な行列として返す：

直交行列を構造化配列として返す：

アプリケーション (5)

CircularRealMatrixDistributionから導かれた行列は直交行列である：

回転行列：

直交行列は $TemplateBox[{}, Reals]^n$ 上で標準的な内積を保持する．表現を変えるなら，が直交行列でとがベクトル行列ならである：

つまり，ベクトル間の角度は変化しない：

ノルムは内積からくるので，ノルムもまた保持される：

任意の直交行列は回転および／または反射を表す．行列の行列式がなら，これは純粋な回転である．行列式がなら，この行列は反射を含む．次の行列について考える：

行列式はである：

つまり，これは純粋な回転である．デカルト単位ベクトルとは相対的な位置を保持している：

次の行列は直交行列だがその行列式はである：

したがって，この行列は反射を含む．デカルト単位ベクトルとは相対的な位置が反転する：

直交行列は多くの行列分解で重要な役割を果たす：

行列は常に任意の非零の実ベクトルについて直交である：

はハウスホルダー(Householder)反射と呼ばれる．反射であるので，行列式はである：

これは，と垂直な平面を通した反射を表し，をに送る：

と垂直な任意のベクトルはによって変化しない：

行列計算において，は指定された列ベクトルの選択された成分を0に設定するために使用される：

特性と関係 (1)

OrthogonalMatrixの転置は元の行列の逆行列に等しい：

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