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OrthogonalMatrix

OrthogonalMatrix[omat]

将正交矩阵 omat 转换为结构化数组.

更多信息和选项

当正交矩阵表示为结构化数组时，便于进行指定和更高效地进行运算，包括 Inverse 和 LinearSolve.
使用正交矩阵的矩阵分解包括 QR、Hessenberg、Schur 和奇异值分解.
对于正交矩阵，列向量是正交的，因此 $v_i.v_j=TemplateBox[{{i, ,, j}}, KroneckerDeltaSeq]$ .

正交方阵是转置等于其逆矩阵的矩阵；也就是说，它满足关系式 .
正交方阵的逆矩阵也是正交矩阵.
在以下情况下，维度为 p×q 矩阵是正交的：如果 p≥q 且是 q×q 的单位矩阵，或 p≤q 且是 p×p 的单位矩阵.
正交矩阵在矩阵乘法下是封闭的，因此也是正交矩阵.
对于 OrthogonalMatrix sa，可通过 sa["prop"] 获取以下属性 "prop"：

	"Matrix"	以完整数组表示的正交矩阵
	"Properties"	支持的属性的列表
	"Structure"	结构化数组的类型
	"StructuredData"	结构化数组存储的内部数据
	"StructuredAlgorithms"	含有针对结构化数组的特殊方法的函数的列表
	"Summary"	摘要信息，以 Dataset 的方式表示

Normal[OrthogonalMatrix[…]] 以普通矩阵的形式给出正交矩阵.
OrthogonalMatrix[…,TargetStructure->struct] 以 struct 指定的格式返回正交矩阵. 可能的设置包括：
Automatic 自动选择以何种格式表示矩阵

"Dense" 用稠密矩阵表示

"Structured" 用结构化数组表示
OrthogonalMatrix[…,TargetStructureAutomatic] 等价于 OrthogonalMatrix[…,TargetStructure"Structured"].

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

构建正交矩阵：

显示元素：

Normal 可将 OrthogonalMatrix 转换为普通表示方式：

范围 (5)

对应于等距变换（反射和旋转）的矩阵是正交的：

实反射矩阵既是正交矩阵，也是对称矩阵：

复正交矩阵：

矩阵是正交的，但不是酉矩阵：

矩形正交矩阵：

其转置也是正交矩阵：

OrthogonalMatrix 对象包含提供有关矩阵信息的属性：

"Summary" 属性给出了有关矩阵的信息的简要总结：

"StructuredAlgorithms" 属性列出了具有结构化算法的函数：

选项 (1)

TargetStructure (1)

以稠密矩阵的形式返回正交矩阵：

以结构化数组的形式返回正交矩阵：

应用 (5)

根据 CircularRealMatrixDistribution 构建的矩阵是正交矩阵：

旋转矩阵：

正交矩阵在 $TemplateBox[{}, Reals]^n$ 上保留标准内积. 换句话说，如果是正交的且和是向量，则：

这意味着向量之间的角度不变：

由于模是根据内积计算的，因此模也被保留：

任何正交矩阵都表示的是旋转和/或反射. 如果矩阵的行列式为，则为纯旋转. 如果行列式是，则矩阵包含反射. 考虑以下矩阵：

行列式为 :

因此，是纯旋转；笛卡尔单位向量和保持它们的相对位置：

下面的矩阵是正交矩阵，且行列式为：

因此，它包括反射；笛卡尔单位向量和的相对位置被反转：

正交矩阵在许多矩阵分解中发挥着重要作用：

对于任意非零实向量，矩阵始终是正交矩阵：

称为 Householder 反射；因为是反射，其行列式为：

它表示通过垂直于的平面的反射，将变为：

任何垂直于的向量不会被改变：

在矩阵运算中，用于将给定列向量的选定分量设置为零：

属性和关系 (1)

OrthogonalMatrix 的转置等价于原矩阵的逆矩阵：

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