PseudoInverse

PseudoInverse[m]

矩形行列の擬似逆行列を求める．

詳細とオプション

PseudoInverseは，記号的行列および数値的行列ともに機能する．
正方行列の場合，PseudoInverseはムーア・ペンローズ(Moore-Penrose)型逆行列を与える．
数値的な行列については，PseudoInverseはSingularValueDecompositionに基づく．
PseudoInverse[m,Tolerance->t]は，最大の特異値の t 倍より小さい特異値を除去するようを指定する．
デフォルト設定のTolerance->Automaticの場合，特異値は10^-pの百倍よりも小さい場合は除去される．ただし，p はPrecision[m]である．
特異点のない正方行列Mについては，擬似逆行列M^(-1)は標準的な逆行列と同値である．

例題

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例 (5)

可逆行列の擬似逆行列を求める：

擬似逆行列は単なる逆行列である：

特異行列の擬似逆行列を求める：

の行列式は0なので，真の逆行列はない：

擬似逆行列については，かつである：

しかし，この特定のケースではもも恒等行列ではない：

矩形行列の擬似逆行列を求める：

この特定のケースでは，は恒等行列である：

しかし，はそうではない：

行行列の擬似逆行列を求める：

零行列の擬似逆行列を求める：

スコープ (10)

基本的な用法 (6)

機械精度行列の擬似逆行列を求める：

複素行列の擬似逆行列：

厳密行列の擬似逆行列：

任意精度行列の擬似逆行列：

記号擬似逆行列を計算する：

大きい機械精度行列の逆行列は効率的である：

特殊行列 (4)

疎な行列の擬似逆行列は通常の行列として返される：

結果をフォーマットする：

構造化行列の擬似逆行列は，可能な場合は別の構造化行列として返される：

これは常に可能な訳ではない：

IdentityMatrix[n]はそれ自身の擬似逆行列である：

IdentityMatrix[{m,n}]の擬似逆行列は転置である：

HilbertMatrixの擬似逆行列を計算する：

オプション (1)

Tolerance (1)

m は16×16のヒルベルト(Hilbert)行列である：

特異値の中には，機械精度でデフォルトの許容度以下のものもある：

デフォルトの許容度で擬似逆行列を計算する：

特異値のいくつかが実質的に零とみなされているので，これは本当の逆行列ではない：

許容度なしで逆行列を計算する：

特異値の中に零とされたものはないが，数値誤差のためさらに悪くなっている：

アプリケーション (8)

方程式の解法 (4)

PseudoInverseを使って次の方程式系を解く：

系を行列形式に書き換える：

一般解は任意のベクトルについてで与えられる：

はなくなるので，SolveValuesで確認できるように解は一意である：

次の方程式系のすべての解を求める：

まず，係数行列，ベクトル変数，定数ベクトルを書く：

書換えを確認する：

一般解は任意のベクトルについてで与えられる：

解を確認する：

パラメータは3つあるがこの解は線を表す：

これはの零空間が一次元だからである：

したがって，パラメータを設定し直して2つのパラメータを消去することができる：

このパラメータの再設定によってSolveValuesと同じ形の答が与えられる：

の最小フロベニウスノルムの解を求める．ただし，とは以下の通りである：

最小ノルム解はである：

のノフロベニウスノルムを計算する：

ベクトルの場合と同じように，一般解はで与えられる．ただし，は任意の行列である：

最小値はすべてのがゼロのときに発生する．これでが最小ノルム解であることが確認される：

この場合は，の解は存在しない：

のノルムを最小にする近似解はで与えられる：

一般的な最小化と比較する：

より一般的な解はで与えられる：

これらのベクトルのすべてがを最小化する：

には3つのパラメータがあるが，これは線を表す：

これは，の零空間が一次元だからである：

最小二乗と曲線のフィット (4)

行列と続くベクトルについてを最小化するベクトルを求める：

一つの解（この場合は一意）がで与えられる：

この結果はLeastSquares[m,b]を使っても求められる：

Minimizeを使って解を確かめる：

行列とそれに続く行列について， $TemplateBox[{{{m, ., x}, -, b}}, Norm]_F$ を最小化する行列を求める：

一つの解（この場合は一意）がで与えられる：

この結果はLeastSquares[m,b]を使っても求められる：

Minimizeを使って解を確かめる：

PseudoInverseを使ってデータに最もフィットする曲線が求められる．次のデータについて考える：

データから座標と座標を抽出する：

線にフィットするように，列がとの計画行列を構築する：

線形最小二乗フィットのために係数とを得る：

Fitを使って係数を確かめる：

最良フィット曲線をデータとともにプロットする：

次のデータに最もフィットする放物線を求める：

データから座標と座標を抽出する：

線にフィットするために列が，，の計画行列を構築する：

最小二乗フィットのために係数，，を求める：

Fitを使って係数を確かめる：

最良フィット曲線をデータとともにプロットする：

特性と関係 (14)

正則行列の場合，擬似逆行列は逆行列に等しい：

PseudoInverseは対合である．すなわち：

PseudoInverseはTransposeと可換である．すなわち $(TemplateBox[{m}, Transpose])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, Transpose]$ ：

Conjugateとも可換である．すなわち $(TemplateBox[{m}, Conjugate])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, Conjugate]$ ：

したがってConjugateTransposeとも可換である．すなわち $(TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, ConjugateTranspose]$ ：

PseudoInverseはムーア・ペンローズ方程式を満足する [詳細]：

MatrixRank[m]がの列数と等しければ， $m^((-1))=TemplateBox[{{(, {TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose, SyntaxForm -> SuperscriptBox], ., m}, )}}, Inverse].TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]$ である：

特に，PseudoInverse[m]は m の左逆元である：

MatrixRank[m]がの行数と等しければ， $m^((-1))=TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].TemplateBox[{{(, {m, ., TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]}, )}}, Inverse]$ である：