PseudoInverse

PseudoInverse[m]

求一个矩阵的伪逆矩阵.

范例

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基本范例 (5)

求可逆矩阵的伪逆矩阵：

该伪逆矩阵仅为逆矩阵：

求奇异矩阵的伪逆矩阵：

的行列式为零，因此它没有真正的逆矩阵：

对于伪逆矩阵，和都成立：

但是，在这种特殊情况下， nor 都不是单位矩阵：

求矩形矩阵的伪逆矩阵：

在这种特殊情况下，为单位矩阵：

然而，不是：

求行矩阵的伪逆矩阵：

求零矩阵的伪逆矩阵：

范围 (10)

基本用法 (6)

求机器精度矩阵的伪逆矩阵：

求复矩阵的伪逆矩阵：

求精确矩阵的伪逆矩阵：

求任意精度矩阵的伪逆矩阵：

计算符号伪逆矩阵：

可高效计算大型机器精度矩阵的伪逆矩阵：

特殊矩阵 (4)

以正常矩阵的形式返回稀疏矩阵的伪逆矩阵：

格式化结果：

可能的情况下，以结构化矩阵的形式返回结构化矩阵的伪逆矩阵：

但这不总是可行：

IdentityMatrix[n] 的伪逆矩阵是其自身：

IdentityMatrix[{m,n}] 的伪逆矩阵是它的转置矩阵：

计算 HilbertMatrix 的伪逆矩阵：

选项 (1)

Tolerance (1)

m 是一个 16×16 Hilbert 矩阵：

某些奇异值小于机器精度的缺省公差：

计算缺省公差的伪逆：

当某些奇异值被认为是有效的零时，它不是一个真正的逆：

计算无公差的伪逆：

尽管没有奇异值被认为是零，但存在数值错误：

应用 (8)

求解方程 (4)

使用 PseudoInverse 求解一下方程组：

以矩阵形式重写方程组：

对于任意向量，通解由给出：

由于丢弃，方程组有唯一解且可以使用 SolveValues 验证：

求下列方程组的所有解：

首先，写出系数矩阵、向量变量和常数向量：

验证上述重写：

对于任意向量，通解由给出：

验证该解：

尽管有三个参数，但该解表示一条直线：

这是因为的零空间是一维的：

因此，可以重新参数化以消去其中两个参数：

此参数化以与 SolveValues 相同的形式给出答案：

求的最小 Frobenius 范数解，其中和如下：

最小范数解为：

计算的 Frobenius 范数：

与向量情况一样，通解由给出，其中现在是任意矩阵：

最小值出现在所有为零时，确认是最小范数解：

在这种情况下，无解：

使的范数最小化的近似解由给出：

与一般最小化比较：

通解由给出：

所有这些向量最小化：

尽管中有三个参数，其表示一条直线：

原因是的零空间为一维：

最小二乘和曲线拟合 (4)

对于后面的矩阵和向量，求一个使最小化的向量：

仅在这种情况下，给出一个解：

使用 LeastSquares[m,b] 也可以得到这个结果：

使用 Minimize 确认答案：

对于后面的矩阵和，求一个使 $TemplateBox[{{{m, ., x}, -, b}}, Norm]_F$ 最小化的矩阵：

仅在这种情况下，给出一个解：

使用 LeastSquares[m,b] 也可以得到这个结果：

使用 Minimize 确认该答案：

PseudoInverse 可用于找到数据的最佳拟合曲线. 考虑如下数据：

从数据中提取和坐标：

构造一个列为和的设计矩阵用于拟合直线：

获取线性最小二乘拟合的系数和：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

找到数据的最佳拟合抛物线：

从数据中提取和坐标：

构造一个列为、和的设计矩阵用于拟合直线：

获取最小二乘拟合的系数、和：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

属性和关系 (14)

对于一个非奇异矩阵，伪逆和逆相同：

PseudoInverse 是对合的，即：

PseudoInverse 与 Transpose 对易，即 $(TemplateBox[{m}, Transpose])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, Transpose]$ ：

也与 Conjugate 对易，即 $(TemplateBox[{m}, Conjugate])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, Conjugate]$ ：

因此其与 ConjugateTranspose 对易，即 $(TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose])^((-1))=TemplateBox[{{(, {m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, )}}, ConjugateTranspose]$ ：

PseudoInverse 满足 Moore–Penrose 方程 [更多信息]：

若 MatrixRank[m] 等于的列数，则 $m^((-1))=TemplateBox[{{(, {TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose, SyntaxForm -> SuperscriptBox], ., m}, )}}, Inverse].TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]$ ：

特别是，PseudoInverse[m] 是 m 的左逆：

如果 MatrixRank[m] 等于的行数，则 $m^((-1))=TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].TemplateBox[{{(, {m, ., TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]}, )}}, Inverse]$ ：