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StirlingS2[n,m]

给出第二类 TemplateBox[{n, m}, StirlingS2] 的 Stirling 数.

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StirlingS2

StirlingS2[n,m]

给出第二类 TemplateBox[{n, m}, StirlingS2] 的 Stirling 数.

更多信息

  • 整数型数学函数，同时适合符号和数值运算.
  • StirlingS2 定义为从连续积分的 Power 到离散积分 x^n=sum_(m=1)^n TemplateBox[{n, m}, StirlingS2]TemplateBox[{x, m}, FactorialPower] 的 FactorialPower 的转换矩阵，其中 m,n in TemplateBox[{}, PositiveIntegers].
  • TemplateBox[{n, m}, StirlingS2] 给出把 个元素放入 个非空子集中的方法数.
  • StirlingS2 自动线性作用于列表.

范例

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基本范例  (1)

计算第二类斯特灵数：

Wolfram Language code: StirlingS2[50, 2]

计算多个斯特灵数：

Wolfram Language code: Table[StirlingS2[10, m], {m, 10}]

范围  (2)

StirlingS2 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: StirlingS2[{2, 4, 6}, 2]

TraditionalForm 格式：

Wolfram Language code: StirlingS2[n, m]//TraditionalForm

应用  (5)

绘制对数尺度下第二类的 Stirling 数：

Wolfram Language code: ListPlot3D[Table[Log[Abs[StirlingS2[n, m]] + 1], {n, 60}, {m, 60}]]

模 2 的 Stirling 数：

Wolfram Language code: ArrayPlot[Mod[Table[StirlingS2[n, m], {n, 0, 100}, {m, 0, 100}], 2]]

定义一个生成集合划分的递归函数：

Wolfram Language code: setPartitions[{x_}] := {{{x}}}; setPartitions[{r__, x_}] := Apply[Join, ReplaceList[#, {b___, {S__}, a___} | {b__} :> {b, {S, x}, a}]& /@ setPartitions[{r}]]

生成 n 个元素的集合划分：

Wolfram Language code: n = 4; parts = setPartitions[Range[n]]

计算具有 1、2、… n 个不相交子集的集合划分的数量：

Wolfram Language code: KeySort[Counts[Length /@ parts]]

第二类斯特林数可计算不相交子集的数量：

Wolfram Language code: StirlingS2[n, Range[n]]

包含指数函数的组合式的导数的封闭形式：

Wolfram Language code: D[f[Exp[z]], {z, 6}]
Wolfram Language code: Sum[Exp[k z] StirlingS2[6, k]Derivative[k][f][Exp[z]], {k, 6}]

一个 -面色子独立投掷 次. 所有的面都至少出现一次的概率以第二类斯特令数的形式给出：

Wolfram Language code: classicalOccupancyPr[n_, r_] := (r!/r^n)StirlingS2[n, r]

画出六面色子的概率：

Wolfram Language code: DiscretePlot[classicalOccupancyPr[n, 6], {n, 5, 24}]

与仿真核对：

Wolfram Language code: With[{n = 12, rep = 10 ^ 5}, Map[If[Complement[Range[6], #] === {}, 1.0, 0.0]&, RandomVariate[DiscreteUniformDistribution[{1, 6}], {rep, n}]]]//Mean
Wolfram Language code: classicalOccupancyPr[12, 6]//N

属性和关系  (7)

从普通生成函数生成值：

Wolfram Language code: Series[BellB[12, t], {t, 0, 5}]
Wolfram Language code: Table[StirlingS2[12, m], {m, 5}]

从指数生成函数生成值：

Wolfram Language code: With[{n = 12}, Table[n! / m!SeriesCoefficient[Series[(E^t - 1)^m, {t, 0, n}], n], {m, 5}]]
Wolfram Language code: Table[StirlingS2[12, m] , {m, 5}]

第二类的 Stirling 数是第一类 Stirling 数的逆：

Wolfram Language code: Table[Sum[StirlingS2[l, n] StirlingS1[m, l], {l, 0, Max[m, n] + 1}], {n, 0, 6}, {m, 0, 6}]//MatrixForm

用柯西定理计算第二类最大的 Stirling 数：

Wolfram Language code: With[{n = 120, m = 10, ρ = 10}, Re[-n! / m! NIntegrate[Evaluate[(Exp[x] - 1) ^ m / (x ^ (n + 1)) ρ Exp[I φ] /. x -> ρ Exp[I φ]], {φ, 0, 2Pi}]] / (I 2Pi)]
Wolfram Language code: StirlingS2[120, 10]//N

从计算联系 中产生第二类 Stirling 数：:

Wolfram Language code: s___⊗a⊗a^†⊗t___ := s⊗a^†⊗a⊗t + s⊗t
Wolfram Language code: a^†⊗a⊗a^†⊗a⊗a^†⊗a⊗a^†⊗a⊗a^†⊗a⊗a^†⊗a
Wolfram Language code: Sum[StirlingS2[6, k] CircleTimes@@Flatten[{Array[a^†&, k], Array[a&, k]}], {k, 6}]

幂的有限差的极限是第二类的 Stirling 数：

Wolfram Language code: Nest[(# /. x -> x + 1) - #&, x ^ 10, 4] / 4!
Wolfram Language code: % /. x -> 0
Wolfram Language code: StirlingS2[10, 4]

第二类斯特令数由有单位参数的半贝尔多项式给出：

Wolfram Language code: Table[BellY[n, m, Table[1, {n}]], {n, 6}, {m, 1, n}]
Wolfram Language code: Table[StirlingS2[n, m], {n, 6}, {m, 1, n}]

可能存在的问题  (2)

StirlingS2 对适度大小的参数可以有较大的值：

Wolfram Language code: StirlingS2[1000, 500]//Short
Wolfram Language code: N[%]

在 的值定义为 1：

Wolfram Language code: StirlingS2[0, 0]

巧妙范例  (2)

绘制数字和：

Wolfram Language code: ArrayPlot[Table[Total[IntegerDigits[StirlingS2[n, m]]], {n, 36}, {m, 36}]]

含有斯特林数项的矩阵的行列式：

Wolfram Language code: Table[Det @ Table[(i!/(i + j)!) StirlingS2[i + j, i], {i, 0, n}, {j, 0, n}], {n, 6}]

与解析形式相比较：

Wolfram Language code: Table[2^-n (n + 1) / 2, {n, 6}]
Wolfram Research (1988)，StirlingS2，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/StirlingS2.html.

文本

Wolfram Research (1988)，StirlingS2，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/StirlingS2.html.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "StirlingS2." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/StirlingS2.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). StirlingS2. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/StirlingS2.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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