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UnitaryMatrix

UnitaryMatrix[umat]

将酉矩阵 umat 转换为结构化数组.

更多信息和选项

当酉矩阵表示为结构化数组时，便于进行指定和更高效地进行运算，包括 Inverse 和 LinearSolve.
使用酉矩阵的矩阵分解包括 QR、Hessenberg、Schur 和奇异值分解.
对于酉矩阵，列向量是正交的，因此 $TemplateBox[{{u, _, i}}, Conjugate].u_j=TemplateBox[{{i, ,, j}}, KroneckerDeltaSeq]$ .

酉方阵是共轭转置等于其逆矩阵的矩阵；也就是说，它满足关系式 .
酉方阵的逆矩阵也是酉矩阵.
在以下情况下，维度为 p×q 的矩阵是酉矩阵：如果 p≥q 且是 q×q 的单位矩阵，或 p≤q 且是 p×p 的单位矩阵.
酉矩阵在矩阵乘法下是封闭的，因此也是酉矩阵.
对于 UnitaryMatrix sa，可通过 sa["prop"] 获取以下属性 "prop"：

	"Matrix"	以完整数组表示的酉矩阵
	"Properties"	支持的属性的列表
	"Structure"	结构化数组的类型
	"StructuredData"	结构化数组存储的内部数据
	"StructuredAlgorithms"	含有针对结构化数组的特殊方法的函数的列表
	"Summary"	摘要信息，以 Dataset 的方式表示

Normal[UnitaryMatrix[…]] 以普通矩阵的形式给出酉矩阵.
UnitaryMatrix[…,TargetStructure->struct] 以 struct 指定的格式返回正交矩阵. 可能的设置包括：
Automatic 自动选择以何种格式表示矩阵

"Dense" 用稠密矩阵表示

"Structured" 用结构化数组表示
UnitaryMatrix[…,TargetStructureAutomatic] 等价于 UnitaryMatrix[…,TargetStructure"Structured"].

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

构建酉矩阵：

显示元素：

Normal 可将 UnitaryMatrix 转换为普通表示方式：

范围 (3)

复反射矩阵既是酉矩阵，也是厄米特矩阵：

矩形酉矩阵：

其共轭转置也是酉矩阵：

UnitaryMatrix 对象包含提供有关矩阵信息的属性：

"Summary" 属性给出了有关矩阵的信息的简要总结：

"StructuredAlgorithms" 属性列出了具有结构化算法的函数：

选项 (1)

TargetStructure (1)

以稠密矩阵的形式返回酉矩阵：

以结构化数组的形式返回酉矩阵：

应用 (5)

根据 CircularUnitaryMatrixDistribution 构建的矩阵是酉矩阵：

根据 CircularOrthogonalMatrixDistribution 构建的矩阵是酉矩阵：

Pauli 矩阵是酉矩阵：

矩阵指数也是酉矩阵：

酉矩阵在 $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ 上保留标准内积. 换句话说，如果是酉矩阵且和是向量，则：

这意味着向量之间的角度不变：

由于模是根据内积计算的，因此模也被保留：

酉矩阵在许多矩阵分解中发挥着重要作用：

对于任意非零向量，矩阵 $H_v=I_n-(2 vTemplateBox[{v}, Conjugate])/(v.TemplateBox[{v}, Conjugate])$ 始终是酉矩阵：

被称为 Householder 反射；因为是反射，其行列式为：

它表示通过垂直于的平面的反射，将变为：

任何垂直于的向量不会被改变：

在矩阵运算中，用于将给定列向量的选定分量设置为零：

属性和关系 (2)

UnitaryMatrix 的共轭转置等价于原矩阵的逆矩阵：

实正交矩阵也是酉矩阵：

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