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VectorLessEqual

xy または VectorLessEqual[{x,y}]

のすべての成分について x_i≤y_iなら，長さ n のベクトルに対してTrueを返す．

x_κy または VectorLessEqual[{x,y},κ]

y-x∈κ なら，x と y とに対してTrueを返す．ただし，κ は真凸錐である．

詳細

VectorLessEqualは，ベクトル空間演算と互換の，およびがすべてのについてを意味する，ベクトル，行列，配列の半順序を与える．
VectorLessEqualは，制約条件付き最適化，不等式の解法，積分におけるベクトル不等式を指定するのに使われることが多い．これは，ベクトル最適化における極小元の定義にも使われる．
x および y が -ベクトルのとき，xy はに等しい．この関係が真となるためには，x の各部分は対応する y の部分以下でなければならない．
x および y が次元の配列のとき，xy はに等しい．この関係が真となるためには，x の各部分は対応する y の部分以下でなければならない．
x または y が非数値要素を持つとき，xy は未評価のままになる．それ以外の場合は，一般にTrueまたはFalseを与える．
x が n-ベクトルで y が数値スカラーのとき，のすべての成分に対して x_i≤y なら xy はTrueを与える．
記号  は v<= または \[VectorLessEqual]として入力する．下付き文字があるベクトル不等式は以下のように入力できる．
VectorLessEqual[{x,y}] 標準的ベクトル不等式

VectorLessEqual[{x,y},κ] 錐体 κ によって定義されるベクトル不等式
一般に，適切な真凸錐 κ を使ってベクトル不等式を指定することができる．集合は κ と同じである．
ベクトル x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．

	{"NonNegativeCone", n}		()
	{"NormCone", n}		(Norm[{x₁,…,x_n-1}]≤x_n)
	"ExponentialCone"		()
	"DualExponentialCone"		( または)
	{"PowerCone",α}		()
	{"DualPowerCone",α}		()

行列 x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．
"NonNegativeCone" ()

{"SemidefiniteCone", n} 対称半正定値行列
配列 x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．
"NonNegativeCone" ()
厳密な数量については，VectorLessEqualは内部的に数値近似を使って数値順を確立する．この過程は大域変数$MaxExtraPrecisionの設定の影響を受けることがある．

例題

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例 (3)

すべての i=1,…,n について x_i≤y_iがTrueのとき，xy はTrueを与える：

任意の i=1,…,n について x_i>y_iがFalseのとき，xy はFalseを与える：

ベクトル不等式を表す：

v が数値ベクトルの空間要素で置換されたとき，この不等式はTrueまたはFalseを返す：

錐体はによっても与えられる：

錐体はによっても与えられる：

直方体はによっても与えられる：

スコープ (7)

ベクトル中の全要素が非負であるかどうかを判定する：

すべての成分が1以下かどうかを判定する：

!xy は xy を意味しない：

各成分について，!x_i≤y_iは x_i>y_iを意味する：

2つの行列の成分を比較する：

対称行列を比較する：

Norm[{x,y}]<=1という条件を表す：

という条件を表す：

非負の x,y について（ただし，α は0から1）となるところを表示する：

アプリケーション (8)

基本的なアプリケーション (1)

VectorLessEqualは多くの要素を比較する高速の方法である：

ベクトル不等式上の最適化 (1)

ベクトル不等式を解く (1)

不等式は直方体Cuboid[p_min,p_max]を表す：

ベクトル不等式の領域上の積分 (2)

非負の四分儀上でを積分する：

ベクトル変数を使う：

非負の八分儀上でを積分する：

長方形上でを積分する：

ベクトル変数を使う：

直方体上でを積分する：

行列不等式 (3)

標準的なベクトル順を使って非負の行列の集合を表す：

区間で区切られた行列の集合を与える：

半定値錐体を使って正の対称半正定値行列の集合を定義する：

を使って，最小固有値がで最大固有値がの対称行列の集合を定義する．ただし，ℐ_n=IdentityMatrix[n]かつ κ="SemidefiniteCone"である．これで，固有値が1と2の間にある対称行列の集合（つまり，）が求まる：

行列変数を使って同じ問題を立式する：

そのような行列の例を求める：

結果をチェックする：

特性と関係 (3)

VectorLessEqualはベクトル空間操作と互換である：

任意のベクトルについて，両辺にベクトルを加える：

任意のについてに正の定数を掛ける：

xy は（厳密な意味ではないが）半順序，つまり，反射的，反対称的，推移的である：

反射的，つまり，すべての要素についてである：

反対称，つまり，かつならである：

推移的，つまり，かつならである：

x_κy は部分的な順序で全体的な順序ではない．したがって，比較できない要素がある：

とは非互換要素なので，もも真ではない：

ベクトルの集合と．これらはと比較可能な要素である：

考えられる問題 (1)

ベクトル順は部分的な順序である．したがって，の否定はと等しくはない：

以下ではとの両方が偽である：

とを可視化する．これらの集合の差は比較できない要素からなっている：

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