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VectorLessEqual

xy 或 VectorLessEqual[{x,y}]

对于长度为 n 的向量，如果对于所有的元素 x_i≤y_i 成立，则给出 True.

x_κy 或 VectorLessEqual[{x,y},κ]

对于 x 和 y，如果 y-x∈κ，则给出 True，其中 κ 为正常凸锥.

更多信息

VectorLessEqual 给出向量、矩阵和数组的偏序，与向量空间运算兼容，因而对于所有的，和即意味着 .
VectorLessEqual 通常用于指定约束优化、不等式求解和积分的向量不等式. 也被用来定义向量优化中的最小元素.
当 x 和 y 为 -向量时，xy 等价于 . 即为了使关系式成立，x 的每个元素都小于或等于 y 的相应元素.
当 x 和 y 是维数为的数组时，xy 等价于 . 即为了使关系式成立，x 的每个元素都小于或等于 y 的相应元素.
如果 x 或 y 有非数字元素，xy 不会进行计算；否则通常会给出 True 或 False.
x 是长度为 n 的向量，y 为标量时，如果对于所有的元素 x_i≤y 成立，xy 给出 True.
通过使用字符  （用 v<= 或 \[VectorLessEqual] 输入），可用以下方式输入带有下标的向量不等式：
VectorLessEqual[{x,y}] 标准向量不等式

VectorLessEqual[{x,y},κ] 由锥 κ 定义的向量不等式
一般情况下，可以用合适的凸锥 κ 指定向量不等式. 集合与 κ 相同.
对于向量 x，中可能的锥规范 κ 包括：

	{"NonNegativeCone", n}		中使得的元素
	{"NormCone", n}		中使得 Norm[{x₁,…,x_n-1}]≤x_n 的元素
	"ExponentialCone"		中使得的元素
	"DualExponentialCone"		中使得 or 的元素
	{"PowerCone",α}		中使得的元素
	{"DualPowerCone",α}		中使得的元素

对于矩阵 x，中可能的锥规范 κ 包括：
"NonNegativeCone" 中使得的元素

{"SemidefiniteCone", n} 对称半正定矩阵
对于数组 x，中可能的锥规范 κ 包括：
"NonNegativeCone" 中使得的元素
对于精确数量，VectorLessEqual 在内部使用数值近似对数字进行排序. 此过程可能被全局变量 $MaxExtraPrecision 的设置所影响.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

如果对于所有 i=1,…,n，x_i≤y_i 为 True，xy 给出 True：

如果对于任一 i=1,…,n，x_i>y_i 为 True，xy 给出 False：

表示向量不等式：

当 v 被替换为数值向量空间元素时，不等式给出 True 或 False：

也可用给出圆锥：

也可用给出圆锥：

也可用给出长方体：

范围 (7)

确定是否向量中的所有元素都为非负数：

确定是否所有元素都小于或等于 1：

!xy 并不意味着 xy：

对于每个元素，!x_i≤y_i 意味着 x_i>y_i：

比较两个矩阵的元素：

比较对称矩阵：

表示条件 Norm[{x,y}]<=1：

表示条件：

显示，其中 x,y 非负，α 位于 0 和 1 之间：

应用 (8)

基本用法 (1)

VectorLessEqual 是比较许多元素大小的捷径：

向量不等式的优化 (1)

求解向量不等式 (1)

不等式表示长方体 Cuboid[p_min,p_max]：

在向量不等式区域上积分 (2)

在非负象限上对积分：

使用向量变量：

在非负象限上对积分：

在长方形上对积分：

使用向量变量：

在长方体上对积分：

矩阵不等式 (3)

使用标准向量顺序表示非负矩阵集：

给出一组被区间界定的矩阵：

用半定锥定义一组对称半正定矩阵：

通过使用定义一组最小特征值为、最大特征值为的对称矩阵，其中 ℐ_n=IdentityMatrix[n] 和 κ="SemidefiniteCone". 由此得出一组对称矩阵，该矩阵的特征值位于 1 和 2 之间，即：

用矩阵变量描述同一个问题：

求这样的矩阵：

检查结果：

属性和关系 (3)

VectorLessEqual 与向量空间运算兼容：

两边同时加上任意向量，：

两边都乘以任意正的常数，：

xy 是（非严格）偏序，即具有自反性、反对称和传递性：

自反性，即对于所有元素，：

反对称性，即如果和，则有：

传递性，即如果和，则：

x_κy 是偏序而不是全序，所以有不可比的元素：

或都不成立，因为和无法比较：

和的向量集合. 这些是可与进行比较的元素：

可能存在的问题 (1)

向量排序是部分排序，所以的逆不等价于：

这里和都为 false：

可视化和 . 这些集合的差是无法比较的元素：

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