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自定义小波

自定义小波

用户可以通过使用正确的模板，定义适用于小波分析框架的小波. 小波 wave 的形式为 wfam[args]，其中 wfam 是表明小波族的符号，而 args 提供了任何需要的具体规范说明.
为了把 wfam 设置为系统可以识别的小波族，属性 wfam[patt]["WaveletQ"] 必须设置为 True，其中 patt 是一个与可接受的变量 args 相匹配的模式.
WaveletQ
如果该函数是一个自定义小波，则设为 True
小波初始化属性.
正交小波和双正交自定义小波（user wavelet）都被支持. 通过设置属性 wfam[args]["OrthogonalQ"] 表明正交小波，相应地，通过设置属性 wfam[args]["BiorthogonalQ"] 表明双正交小波.
"OrthogonalQ"
如果该小波是正交的，设为 True
"BiorthogonalQ"
如果该小波是双正交的，设为 True
小波属性.
如要计算原低通滤波器系数，必须设置属性 wfam[args]["PrimalLowpass",prec]；这里，prec 表示滤波器系数的精度. 相似地，要计算对偶低通滤波器系数，必须设置属性 "DualLowpass". 属性 "PrimalLowpass" 和 "DualLowpass" 一般返回形如 的列表，其中 是索引而 是相应的滤波器系数. 如果返回的是形如 的列表，则假定索引 从0开始. 如果滤波器系数 不是数值的，并且索引 不是整数，则生成一个错误信息.
范例

Franklin 小波

定义一个 Franklin 小波族.
初始化小波：
Wolfram Language code: FranklinWavelet[lim_Integer]["WaveletQ"] := True
设置属性：
Wolfram Language code: FranklinWavelet[lim_]["OrthogonalQ"] := True
由积分给出 Franklin 小波系数：
Wolfram Language code: a[k_] := Sqrt[3] HypergeometricPFQRegularized[{(1/2), (1/2), 1}, {1 - k, 1 + k}, -2]
Wolfram Language code: Z[k_, n_] := (1/24) a[2 k - n - 2] + (1/4) a[2 k - n - 1] + (5/12) a[2 k - n] + (1/4) a[2 k - n + 1] + (1/24) a[2 k - n + 2]
Wolfram Language code: FranklinWavelet[lim_Integer]["PrimalLowpass", prec_ : MachinePrecision] := ParallelTable[{n, N[Total[Table[a[k] Z[k, n], {k, -15, 15}]], prec]}, {n, -lim, lim}]
现在，上述自定义小波可用于执行各种小波操作.
计算滤波器系数：
Wolfram Language code: wave = FranklinWavelet[14];
Wolfram Language code: WaveletFilterCoefficients[wave]
利用递归方程 计算尺度函数，其中 表示低通滤波器系数.
计算尺度函数：
Wolfram Language code: Plot[WaveletPhi[wave, x], {x, -5, 5}, PlotRange -> All]
执行小波变换：
Wolfram Language code: swt = StationaryWaveletTransform[DiamondMatrix[32], wave, 2]
Wolfram Language code: WaveletMatrixPlot[swt, ImageSize -> 75]

勒让德（Legendre）小波

下面是勒让德小波的一个例子.
初始化小波：
Wolfram Language code: LegendreWavelet[n_Integer]["WaveletQ"] := True
虽然勒让德小波不是正交的，若要执行小波变换，用户需要将正交性设置为 True：
Wolfram Language code: LegendreWavelet[n_]["OrthogonalQ"] := True
指定用于计算低通滤波器系数的函数：
Wolfram Language code: LegendreWavelet[n_]["PrimalLowpass", prec_ : MachinePrecision] := With[{ν = 2 n - 1}, N[(1/2^2 ν)Table[Binomial[2 k, k] Binomial[2 ν - 2 k, ν - k], {k, 0, 2 n - 1}], prec]]
计算滤波器系数：
Wolfram Language code: WaveletFilterCoefficients[LegendreWavelet[2], WorkingPrecision -> ∞]
Wolfram Language code: WaveletFilterCoefficients[LegendreWavelet[3], WorkingPrecision -> ∞]
计算尺度函数：
Wolfram Language code: Plot[WaveletPhi[LegendreWavelet[2], x], {x, 0, 3}]
利用递归方程 计算小波函数，其中 表示高通滤波器系数.
计算小波函数：
Wolfram Language code: Plot[WaveletPsi[LegendreWavelet[2], x], {x, -1, 2}]
执行小波变换：
Wolfram Language code: dwd = DiscreteWaveletTransform[[image], LegendreWavelet[3], 2]
Wolfram Language code: WaveletImagePlot[dwd]

Le Gall 小波

生成一个 Le Gall 小波.
初始化小波：
Wolfram Language code: LeGallWavelet[]["WaveletQ"] := True
属性设置：
Wolfram Language code: LeGallWavelet[]["OrthogonalQ"] := False
Wolfram Language code: LeGallWavelet[]["BiorthogonalQ"] := True
定义 "PrimalLowpass" 和 "DualLowpass" 属性：
Wolfram Language code: LeGallWavelet[]["PrimalLowpass", prec_ : MachinePrecision] := Transpose[{{-1, 0, -1}, N[{(1/2), 1, (1/2)}, prec]}]
Wolfram Language code: LeGallWavelet[]["DualLowpass", prec_ : MachinePrecision] := Transpose[{Range[-2, 2], N[{-(1/8), (1/4), (3/4), (1/4), -(1/8)}, prec]}]
利用 Le Gall 小波进行阈值化处理.
Wolfram Language code: data = Table[Tanh[t^2] + RandomReal[NormalDistribution[0, 0.02]], {t, -2π, 2π, 4π / 1023}];
利用 Le Gall 小波执行 StationaryWaveletTransform：
Wolfram Language code: dwd = StationaryWaveletTransform[data, LeGallWavelet[]]
Wolfram Language code: thr = WaveletThreshold[dwd, "SURE"]
Wolfram Language code: {ListLinePlot[data, PlotLabel -> "original", PlotRange -> All], ListLinePlot[InverseWaveletTransform[thr], PlotLabel -> "thresholded", PlotRange -> All]}