引言

方法 "DoubleStep" 对任何一步积分法执行 Richardson 外推法的单个应用.

虽然它并不总是最优的，它是对一个方法装备一个误差估计（因而在步长上具有自适应性）并外推以增加局部准确性的阶数的总体方案.

"DoubleStep" 是外推法的一种特殊情况，但是已经作为提高效率的单独方法来实现了.

给定一个具有阶数 的方法：

• 采取一个步长为 的步进，以获取一个解 .

• 采取两个步长为 的步进，以获取一个解 .

• 寻找阶数 的一个误差估计，如下：

• 更正项 可用于误差估计，开启对任何基础方法的一个自适应步长方案.

• 要么使用 作为新解，要么使用如下的局部外推法形成一个改进的近似.

• 如果基础数值积分方法是对称的，那么改进的近似具有阶数 ；否则，它具有阶数 .    

示例

扩展内置方法

方法 "ExplicitEuler" 使用欧拉方法执行一个积分步骤. 它没有局部误差控制，因此使用固定的步长.

用户自定义的方法和方法属性

积分方法可以被加入到 NDSolve 框架中.

为了让这些方法可以像内置方法一样工作，可能有必要指定各种方法属性. 那么这些属性就可以被其它方法用来建立复合积分器.

现在描述 "DoubleStep" 所采用的方法属性.

阶数和对称性

如果不知道基础方法的阶数，"DoubleStep" 不能执行 Richardson 外推法.    

Richardson 外推法的结果的阶数取决于外推法是否具有幂为 或者 的局部误差展开（如果基础方法是对称的，那么就出现后者）.

如果没有定义对称性的方法属性，"DoubleStep" 方法在默认情况下假定，基础积分器不是对称的.

刚性检测

用于刚性检测的方案的详细信息可以参阅 "刚性检测".

刚性检测依赖于方法的线性稳定性边界的知识，这是没有被定义的.

计算外推法下一个方法的精确线性稳定性边界可以是相当复杂的. 因此，选择了一个对所有方法适用的默认值. 这相当于考虑对指数在0处的第 p 阶幂级数展开的近似，并且忽视高阶项.

• 如果 "LocalExtrapolation" 是 True，那么根据具有阶数 p + 2（对称）或者 p + 1 的方法选择一个通用值.    

• 如果 "LocalExtrapolation" 是 False，那么检查基础方法的属性 "LinearStabilityBoundary". 如果没有指定值，那么具有阶数 p 的方法的默认值被选中.
这里对阶数为4的通用方法，计算线性稳定性边界：
使用 "LinearStabilityBoundary" 属性的一个默认值：

这里显示如何对框架指定方法的线性稳定性边界. 只有当 "DoubleStep" 在 "LocalExtrapolation"->True 的情况下调用时，才使用该值：
"DoubleStep" 默认情况下假定，当不指定 "StiffMethodQ" 属性时，一个方法不适合于刚性问题（并且因此使用刚性检测）. 下面显示如何定义该属性：

高阶

下面例子对阶数为4的经典朗格-库塔方法使用 (3) 的两个应用进行外推.

"DoubleStep" 的内部规格构建了一个具有阶数5的方法.

"DoubleStep" 的第二个应用是用来获取一个阶数为6的方法，它采用自适应步长.

一般说来，方法 "Extrapolation" 更适合于从低阶方法构建高阶积分方案.

选项总结

选项名	默认值
"LocalExtrapolation"	True	指定是否根据 (4) 使用局部外推法推进解
Method	None	指定作为基础积分方案来使用的方法
"StepSizeRatioBounds"	{,4}	指定新步长 hn+1 从当前步长 hn 的相对改变的边界，即low ≤ hn+1/h n ≤ high
"StepSizeSafetyFactors"	Automatic	指定安全因子，以结合进用于自适应步长的误差估计 (5)中
"StiffnessTest"	Automatic	指定是否采用刚性测试功能

方法 "DoubleStep" 的选项.

选项 "StiffnessTest" 的默认设置 Automatic 表明如果一个非刚性的基础方法被采用，则激活刚性测试.

选项 "StepSizeSafetyFactors" 的默认设置 Automatic 对一个刚性的基础方法，使用值 {9/10,4/5}，而对于一个非刚性的基础方法，使用值 {9/10,13/20}.