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张量对称性

张量对称性

相控排列下的不变性数组的对称化
对称性指定关于对称性指定的更多信息
出现在应用中的二阶或者更高阶的张量通常在位置交换下具有对称性. 例如惯性张量，应力-能量张量或者 Ricci 曲率张量是阶数为 2 的完全对称张量；电磁张量是阶数为 2 的反对称张量；而黎曼曲率张量和弹性模量是阶数为 4 的具有非平凡对称性的张量. Wolfram 系统有一种通用语言来描述任意张量位置的排列下的任意对称性，并且实现了高效的算法，用于对这种张量给出这样的对称性下的唯一的规范性，这是符号张量计算中的重要的一步.
相控排列下的不变性
我们在张量上的基本行为通过单位根进行置换和乘积的转置形成. 如果张量在这样的行为下是不变的，那么我们就说该张量具有对称性.
{permutation,phase}
对称性生成器的常见形式
TensorTranspose[tensor,gen]
对称性生成器在张量上的行为
对称性生成器和张量转置.
对称性生成器或者相控置换是包含描述了如何对张量位置进行置换和同时乘以张量的单位根的置换的列表：
Wolfram Language code: TensorTranspose[T, {{3, 4, 1, 2}, -1}]
阶数为 4 的数组具有对称性，因为在相位置换下它保持不变：
Wolfram Language code: array = {{{{0, a}, {-a, b}}, {{a, c}, {-b, d}}}, {{{-a, -b}, {-c, -d}}, {{b, d}, {-d, 0}}}};
Wolfram Language code: TensorTranspose[array, {Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], -1}]
Wolfram Language code: % === array
但是，在这另一个生成器下，它不是不变的：
Wolfram Language code: TensorTranspose[array, {Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], -1}]
Wolfram Language code: % === array
生成器的连续应用等价于生成器的乘积，其中相位和置换分开相乘. 事实上，如果一个张量在两个相控置换下是不变的，那么它在它们的乘积下也是不变的. 因为，相控置换（其中张量是不变的）的集合形成一个群，张量的位子对称性群.
如果一个数组在生成器下是不变的，那么它在它的幂下也是不变的：
Wolfram Language code: gen1 = {{2, 3, 4, 1}, -1} gen2 = {{2, 3, 4, 1}{2, 3, 4, 1}, (-1)(-1)} gen3 = {PermutationPower[{2, 3, 4, 1}, 3], (-1) ^ 3} gen4 = {PermutationPower[{2, 3, 4, 1}, 4], (-1) ^ 4}
Wolfram Language code: TensorTranspose[array, gen1] === array
Wolfram Language code: TensorTranspose[array, gen2] === array
Wolfram Language code: TensorTranspose[array, gen3] === array
对称性指定
函数 TensorSymmetry 返回张量的置换对称性的完整描述. 它可以以已命名对称性或者某些对称性生成器的列表（从中，可以通过置换乘积和幂构建剩余生成器）的形式给出.
TensorSymmetry[tensor]
找到 tensor 的转置对称
Symmetric[{s1,…,sn}]
在任意两个位置 si 交换下张量保持符号
Antisymmetric[{s1,…,sn}]
在任意两个位置 si 交换下张量改变符号
ZeroSymmetric[{s1,...,sn}]
任意零张量的对称性
{symgen1,…,symgenm}
张量对称性的生成器列表
{sym1,…,symk}
对称性指定的直接乘积
张量对称性的计算和指定.
对称矩阵：
Wolfram Language code: TensorSymmetry[{{a, b}, {b, c}}]
阶数为3的反对称数组：
Wolfram Language code: TensorSymmetry[{{{0, 0, 0}, {0, 0, 7}, {0, -7, 0}}, {{0, 0, -7}, {0, 0, 0}, {7, 0, 0}}, {{0, 7, 0}, {-7, 0, 0}, {0, 0, 0}}}]
缺少对称性或者单位对称性由生成器空列表表示：
Wolfram Language code: TensorSymmetry[{{a, b}, {c, d}}]
零张量的对称性的表示法：
Wolfram Language code: TensorSymmetry[{{0, 0}, {0, 0}}]
在普通情况下，TensorSymmetry 以生成器列表的形式返回张量对称性. 置换以循环形式给出：
Wolfram Language code: array = {{{{0, a}, {-a, b}}, {{a, c}, {-b, d}}}, {{{-a, -b}, {-c, -d}}, {{b, d}, {-d, 0}}}};
Wolfram Language code: TensorSymmetry[array]
Wolfram Language code: TensorSymmetry[{{0, a}, {-a, 0}}{{0, b}, {-b, 0}}]
Wolfram Language code: SymmetrizedArray[{{1, 2}, {2, 3}}]//InputForm
数组的对称化
可能通过对其进行对称化处理，增加数组的对称性，通过使用函数 Symmetrize. 结果以类型为SymmetrizedArray 的结构化数组给出. 若要获取更多关于结构类型的信息，请查看 "对称数组".
Symmetrize[tensor,sym]
将 tensor 按对称性 sym 进行对称化处理
SymmetrizedArray[rules,dims,sym]
给出独立分量构建具有对称性的数组
SymmetrizedArray[StructuredData[dims,{rules,sym}]]
具有对称性的数组的结构化数组表示法
张量对称化和对称化数组.
使用一个没有对称性的普通数组：
Wolfram Language code: Array[Subscript[a, ##]&, {3, 3, 3}]
投射到反对称部分，结果以类型为 SymmetrizedArray 的结构化数组的形式给出，它只存储独立分量：
Wolfram Language code: proj = Symmetrize[%, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
它只包含一个独立分量：
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[proj]
该分量在数组的规范形式中多次重复.
Wolfram Language code: Normal[proj]
这是一个投射，因为进一步进行反对称处理不改变数组：
Wolfram Language code: Symmetrize[proj, Antisymmetric[{1, 2, 3}]] === proj
任意一对层次的对称化处理产生具有最大对称性的零数组：
Wolfram Language code: Symmetrize[proj, Symmetric[{1, 2}]]//Normal//Simplify

非独立和独立分量

当张量或者数组具有对称性时，无法自由指定它的分量. 对称性实际上指定分量之间的关系，并且只有某些是独立的.
SymmetrizedIndependentComponents[dims,sym]
具有给定维度和对称性的数组的独立分量
SymmetrizedDependentComponents[comp,sym]
在对称性下与给定分量相关联的非独立分量
非独立和独立分量.
使用具有对称性的数组：
Wolfram Language code: array = {{{{0, a}, {-a, b}}, {{a, c}, {-b, d}}}, {{{-a, -b}, {-c, -d}}, {{b, d}, {-d, 0}}}};
Wolfram Language code: dims = Dimensions[array]
Wolfram Language code: sym = TensorSymmetry[array]
这个数组只具有四个可以自由指定的元素，并且您可以证明这确实是与维度和对称性兼容的最大数目：
Wolfram Language code: indeps = SymmetrizedIndependentComponents[dims, sym]
Wolfram Language code: Extract[array, indeps]
对于维度为 {3,3,3,3} 的数组，有六个独立分量，其中黎曼张量具有置换对称性：
Wolfram Language code: Rsym = {{{2, 1, 3, 4}, -1}, {{3, 4, 1, 2}, 1}};
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3, 3}, Rsym]
它渐进增长为 ，其中 是对称群的阶数，对于黎曼对称性是 8：
Wolfram Language code: Length[SymmetrizedIndependentComponents[{#, #, #, #}, Rsym]]& /@ Range[20]
Wolfram Language code: % === Table[(d^4 - 2d^3 + 3d^2 - 2d) / 8, {d, 20}]
与给定独立分量相关联的非独立分量可以使用对称性的关联置换群下的轨道计算获得.
使用维度 3 中阶数为 3 的通用对称数组：
Wolfram Language code: SeedRandom[0]; array = Normal@Symmetrize[RandomInteger[{-10, 10}, {3, 3, 3}], Symmetric[{1, 2, 3}]]
这些是10个独立分量，以位置给出：
Wolfram Language code: indeps = SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3}, Symmetric[{1, 2, 3}]]
这些是它们各自的独立分量的轨道：
Wolfram Language code: (orbits = SymmetrizedDependentComponents[#, Symmetric[{1, 2, 3}]]& /@ indeps)//Column
我们可以检查每个轨道中的所有分量确实保持一致：
Wolfram Language code: Extract[array, #]& /@ orbits//Column
关于对称性指定的更多信息
我们将使用函数 SymmetrizedIndependentComponents 来给出对称性指定的更多示例.
在复平面下，由单个生成器给出的对称性：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3, 3}, {Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], I}]
由一些生成器给出的对称性：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3, 3}, {{Cycles[{{1, 2}}], 1}, {Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], 1}}]
对称性的乘积：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3, 3}, {Antisymmetric[{1, 2}], Symmetric[{3, 4}]}]
已命名对称性可以与由生成器给出的对称性混合，两者都使用置换列表或者置换循环：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3, 3}, {Antisymmetric[{1, 2}], {{1, 2, 4, 3}, 1}}]
对于单位根 ϕ 的相控置换 {perm,ϕ}，通常您将有 ϕn1，其中 n 是 perm 的置换阶数，由 PermutationOrder[perm] 给出. 否则，生成器只能是零张量的对称性，并且在这种情况下，生成器被称为是不相容的或者非自洽的. 张量对称性也可能只与零张量兼容，即使它使用自洽生成器表示. 换句话说，自洽生成器的合成给出一个非自洽生成器.
生成器 {{2,3,1},-1} 是不一致的，因为置换的阶数是3，但是 -1 是阶数为 2 的单位根. 结果是空列表，因为零张量没有独立分量：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3}, {{2, 3, 1}, -1}]
这两个生成器是一致的，但是它们的组合给出只与零张量兼容的对称性：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3}, {{Cycles[{{1, 2}}], -1}, {Cycles[{{2, 3}}], 1}}]
这两种情况等价于直接指定零对称性：
Wolfram Language code: SymmetrizedIndependentComponents[{3, 3, 3}, ZeroSymmetric[{1, 2, 3}]]