ビーム上の球のバランスを取るコードを配備する
はじめに
天秤の水平ビーム（梁）に乗せた球は不安定である．重力の影響で球はビームの端から端へ転がり，天秤も水平位置には留まらない．しかしモータを使うと，ビームの向きと球の位置が制御できる．
球の位置はIR（赤外線）距離センサで測定する．ビームはサーボモータで制御する．モータが必要とする動作電圧は電圧変換器で保たれる．球の希望の位置はポテンショメータを使って指定する．Arduino Unoで実行する制御器はポテンショメータとIRセンサの値を読み取り，サーボモータに適切な信号を送る．
まず系のモデルを計算することから始める．その後，IRセンサとサーボモータの校正を行う．PID制御器，極配置制御器，積分制御器の3つの制御器を設計し，応答を比較する．
部品
Makeblockサーボモータ[リンク]
シャフトコネクタ[リンク]
Makeblockサーボモータのブラケットペア[リンク]
Makeblock Beam0824-320ペア[リンク]
Makeblock Beam0824-192ペア[リンク]
Makeblock Beam0824-160ペア[リンク]
Makeblock Beam0824-144 [リンク]
Makeblock Beam0824-096ペア[リンク]
Makeblock Bracket 3x3ペア[リンク]
M4x22mmねじ7個[リンク]，M4x14mmねじ30個[リンク]，M4x8mmねじ5個[リンク]，M4ナット14個[リンク]，4x7x2のプラスチックリング3個[リンク]
モータフランジとビームの3Dプリントのメスコネクタ[リンク]
モータフランジとビームの3Dプリントオスコネクタ[リンク]
3Dプリントのビームエンド2個[リンク]
IR距離センサ[リンク]，3ピンメスケーブル[リンク]，ハウジング[リンク]
Arduino Uno [リンク]
ポテンショメータ[リンク]
ProtoShield [リンク]
オスピンヘッダ[リンク]
USBケーブル[リンク]
可変DC/DC電圧変換器[リンク]
電源アダプタ[リンク]
各種スペーサ[リンク]
重石またはクランプ
長方形粘着マウントテープ[リンク]
ピンポン玉
組立て
0824-096ビーム2つと0824-160ビーム2つをM4x14ねじ4個で留め，ベースを作る（動作中にカタカタ音がしそうな場合は，底に長方形粘着テープを貼り付ける）．
3x3のブラケットをM4x14ねじ2個とナット2個を使って0824-160ビームそれぞれに取り付ける．
0824-192ビームをM4x22ねじ2個とナット2個を使って0824-160ビームそれぞれに取り付ける．
0824-144ビームをM4x14ねじ4個で0824-192ビーム2つの上に取り付ける．
モータブラケットを0824-144ビームにM4x14ねじ2個とナット2個で取り付ける．
モータ，モータフランジ，シャフトコネクタ，モータフランジとビームのメスコネクタを，M4x22ねじ1個（中央）とM4x14ねじ2個で取り付ける．
組み立てたモータをM4x8 mmねじ3個とプラスチックリング3つでモータブラケットに取り付ける．
3ピンのメスケーブルの片方の端をIR距離センサに，もう片方をハウジングに挿してから，M4x8ねじ2個を使ってセンサをビームエンドの一つに取り付ける．
0824-320ビームの片方は，目盛を付けて長さが測れるようにする．
ビームエンドをM4x14ねじ8個で0824-320ビームに取り付ける．
フランジとビームのオスコネクタを，目盛が付いていない方の0824-320ビームにM14x22ねじ2個とナット2個で取り付ける．
ブラケットをIRセンサが付いている側の0824-320ビームにM14x22ねじ2個とナット2個で取り付ける．
ビームに取り付けたオスコネクタを，組み立てたモータ側部品のメスコネクタに差し込み，重石を使って固定する．
ProtoShieldボードまたはブレッドボードを使って電気接続を配線する．電圧変換器を接続する前に，出力電圧(VOUT)が6Vに設定されていることを確認する．
スペーサを使ってArduinoを持ち上げ，その上にProtoShieldボードを載せる．
モータとセンサをProtoShieldボードのそれぞれ適切な場所に接続する．
モデル化
前から見たピンポン球とビーム．
サーボモータに指定された角度を制御入力とする．モータの動力学を無視すると，ビームの質量も無視できる．
ラグランジアン(Lagrangian)を運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差として計算する．
ピンポン球は中空球であり，すべることなく転がると仮定する．
制御入力uの線形化フィードバックを使う．これは系を線形化する．
仮定と線形化フィードバックを加えたラグランジアン．
運動方程式．
入力u，出力rの線形StateSpaceModel（状態空間モデル）．
センサの校正
IRセンサの値を読み取り，それをシリアルチャンネルに出力するコードを埋め込む．
マイクロコントローラへの接続を開く．
入ってくるデータを解釈する関数．
入ってくるデータを読み取るタスク．
ピンポン球をビームのさまざまな位置に置き，センサの読取り値を記録する．
センサデータ．
十分なデータ点を取得したら，タスクを停止し接続を閉じる．
非線形モデルをデータにフィットする．
データとモデルを比較する．
モデルをNonlinearStateSpaceModel（非線形状態空間モデル）として再構築する．
サーボの校正
モータの制御にArduinoサーボライブラリを使用する．
サーボ出力チャンネル．
ライブラリで指定されたサーボの「角度」は 0から180までの値を取る．これはモデルで使われている θ と同じではない．θ と「角度」のマッピングを特定する必要がある．
これを行うために，特定の「角度」の値のサーボ出力のモデルを作成する
これをマイクロコントローラに埋め込むと，ビームはそれに従って向きを変える．
結果の θ を計測して記録する．これを繰り返していくつかのデータ点を得る．
非線形モデルをデータにフィットする．
データとモデルを比較する．
モデルをNonlinearStateSpaceModelとして再構築する．
θ が大きいと，ビームがテーブルにぶつかる可能性がある．また，制御器が大きい θ 値からビームを戻すときに，ピンポン球がビームから落ちる可能性がある．これを防ぐために，サーボが均衡値 θ ==0からどれだけ回転できるのかについてクランプを設ける．
クランプのモデルを作成する．
その他の構成要素
必要となる他の構成要素のモデルを作成する．
基準位置はポテンショメータで設定され，これは0から5Vまでである．これを- 6 cmから6 cmにマップするモデルを作成する．
モデルをNonlinearStateSpaceModelとして再構築する．
基準位置と実際の位置を比較する比較器のモデル．
シミュレーション用に，連続時間比較器も必要である．
AVR-Libcライブラリの逆正弦関数asinは，引数が正しい範囲でない場合エラーを返す．ArcSinの計算をうまく扱うモデル．
逆正弦の引数が正しい範囲であることを確認する別のモデル．
制御器コードのためのマイクロコントローラの指定．
マイクロコントローラ，ポート，ライブラリの指定．
サンプリング期間．
PID制御器の設計
フィルタした微分部分を持つPID制御器を設計する．
閉ループ系．
閉ループ系のシミュレーションを行う．
シミュレーションから，安定するのに少し時間がかかることが分かる．系の固有値を見ると，虚軸に近いものがあることが分かる．
フィードバック制御器．
フィードフォワードフィルタ．
PID制御器を離散化する．
PID制御器の配備
PID制御器の全容．
パッケージをロードする．
制御器を埋め込む．
極配置制御器の設計
極を左半平面に移動させるのに極配置を使用する．これには状態フィードバックすべてを使い，位置rだけが計測されるため，推定器も必要である．また，制御器が基準信号を追跡するためにフィードフォワード項も必要である．
StateFeedbackGainsを使ってフィードバックゲインを計算する．
推定器ゲインEstimatorGainsを計算する．
状態推定器．
フィードバック制御器．
フィードフォワード制御器．
制御器とプラントの構造．
閉ループ系．
閉ループ系の固有値．
設計された場所にあることを確認する．
制御器を離散化する．
極配置の配備
極配置制御器の全容．
制御器を埋め込む．
積分制御器の設計
状態方程式を誤差の積分値で拡張する．
誤差に大きくペナルティを与えるオプションの最適ゲイン一式．
閉ループ系の固有値．
フィードフォワード制御器．
フィードバック制御器．
制御器とプラントの構造．
閉ループ系．
固有値を計算する．
制御器を離散化する．
積分制御器の配備
積分制御器の全容．
結論
3つの制御器の線形閉ループ系のステップ応答のシミュレーションにより，極配置制御器の性能が他よりよいことが分かる．
PID制御器は予想通り，二重積分系ではあまりよい結果が得られなかった．実際の物理的な系では，整定時間が長く，オーバーシュートが大きいという特徴がある．定常状態応答はよい結果が得られた．
極配置制御器ではよい結果が得られたが，別の設置で異なるIRセンサとモータを使うと性能が非常に低かった．
全体として，過渡応答，定常状態応答，外乱応答については積分制御器が最も良い結果を出した．これはセンサとモータを変更してもよい性能を維持でき，十分に堅固であった．
発展
- 外乱応答のシミュレーションを行う．
- 他のPID調整則を試す．
- 他のフィードバックゲイン，推定器ゲインを試す．
- 非線形ArcSin要素を取り除いたときの違いを調べる．
- アンチワインドアップ制御を使う．