音響クローク

はじめに音響クロークを持たないモデル
圧力音響モデル音響クロークのあるモデル
領域用語集
メッシュ生成参照
境界条件

はじめに

音波は，水面あるいは水面のオブジェクトを操縦したり，検出したり，それと通信したりするために使うことができる．例えば，ソナーシステムは音の振動を放出し，その反響を聞くことでオブジェクトを見付ける．しかし最新の研究[1]は，放射音から物体を隠しても検出システムには透過的なものにすることができるということが示された．これは多層複合材料からできた「音響クローク」を使って隠れた物体を包み込むという考えである．

次のモデルは，剛壁円筒への音波入射のシミュレーションである．このシミュレーションは，クロークありとなしで実行する．音響クロークの有効性を数量化するために，結果の音の散乱パターンを比較する．

このチュートリアルで使われる記号およびそれに対応する単位は用語集セクションに要約してある．

音響学の一般的な理論は，「周波数領域における音響学」に記載されている．

有限要素パッケージをロードする．

圧力音響モデル

調和音波の伝播を記述するために，ヘルムホルツ(Helmholtz)偏微分方程式(PDE)を使う．無限に拡張される領域が必要なため，ヘルムホルツ方程式は完全整合層(PML)で変換される．PMLの導出と理論的な背景は「周波数領域における音響学」に記載してある．ヘルムホルツ方程式をPMLで変換すると以下の方程式になる：

ここで と はPMLの吸収係数であり，各次元のPML減衰を制御するために2つの補助パラメータ と を導入する．

この周波数領域で2DのPML音響モデルを設定する．
PMLパラメータ および を計算する関数を定義する．

領域

幾何学モデルでは，半径 の剛体円筒は外半径 までの音響クローク材料の層によって囲まれる．時間調和音波はプローブ信号として左から領域に入るよう設定する． と の両方向で無限に拡張される領域を構築するために，出力波，散乱波を吸収するPML範囲を含むよう，計算領域を拡張する．

軸について対称であるため，円筒の上半分のみでシミュレーションの領域を構築するのが効率的である．円筒の壁の境界と対称境界にはそれぞれおよびの記号を使う．は入口境界を示す．

幾何学的パラメータを指定する．
においてPMLを設定し，方程式(2)から減衰パラメータ を計算する．

メッシュ生成

クローキング材料の薄い層構造の問題を解決するために，デフォルトの三角メッシュが領域全体で必要以上の要素を生成する．計算効率を保ちながらクローク構造を実現する方法として複合要素タイプのメッシュを使用する．

このモデルでは，メッシュ生成は3つのステップに分けられる．まず音響クロークの層構造のために4要素メッシュが生成される．クロークの外側では，計算コストを下げるために粗い三角要素メッシュが使われる．最後のステップで事前に定義された2つのサブメッシュを組み合せて完全なメッシュが構築される．

クローク内で微細な4要素メッシュを作成する．

次に内部メッシュの境界を使ってPML範囲を含む外側の領域の境界メッシュを構築する．後で内側と外側のメッシュを結合したいので，2つの範囲が重なるところでは同じ辺要素を使うことが重要である．これには内部のメッシュから辺を抽出して，残りの外部境界の辺で内部の辺を増やすとよい．外部境界は矩形の境界メッシュから抽出して重なり合っていない座標だけを選ぶことで抽出することができる．

クローク外で境界メッシュを作成する．

この境界メッシュを使って，完全な外部メッシュを生成することができる．メッシュアルゴリズムがこれ以上境界の辺を分割しないように，オプション"SteinerPoints"Falseを使う．そうしないと2つのメッシュの結合が難しくなる．

クローク外で完全メッシュを構築する．
完全な外部メッシュの境界を可視化する．

これで2つのメッシュが結合できる．

すでに定義されたサブメッシュを使って完全なメッシュ範囲を構築する．
結合されたメッシュを可視化する．
結合されたメッシュが適合しているかどうかを検証する．

結合されたメッシュは一次メッシュである．これを二次メッシュにするのは簡単である．難しいのは曲線の二次メッシュを作成することである．

一次メッシュから二次メッシュを作成する．

これでメッシュは二次になったが，辺は曲線にはなっていない．

境界条件

この例には3種類の境界条件が関わっている．音の入口では着信音波のモデル化に放射境界条件が使われる．

着信音の振幅 を指定し，音の入口で放射境界条件を設定する．

壁境界 および対称境界 では，デフォルトのsound hard境界条件が使われる．

音響クロークを持たないモデル

比較のために，まず音響クロークを持たないモデルを考える．入力の音信号は で任意に選ばれる．

音の媒体として水を使う．
材料パラメータをモデルに挿入する．
周波数 でPDEを解く．

円筒の周りの音の伝播を可視化するために，解は調和波関係(3)を使って時間領域に変換する：

時間領域と周波数領域の関係についてはこちらに記載されている．

最大圧力振幅を求め，凡例バーとContourPlotオプションを設定する．
音波の伝搬をハイライトされた境界で可視化する．

アニメーションの質を向上させる方法はこちらをご覧いただきたい．

音圧振幅の最大値を調べる．

音響クロークがないと，入射波は剛壁円筒で分散される．最大の音の振幅 は受信する音信号よりずっと高い．これは相当な量の音波が円筒によって反射されることを意味する．

音響クロークのあるモデル

次に円筒の周囲に音響クロークを加える．

音響クロークの材料は各層 の厚さの2種類の流体状の材質50層でできている．材料の特性は円筒軸[4]に対する半径方向距離に依存し，以下のように定義される：

クロークの層を数える関数を定義する．
音響モデルのパラメータ規則を定義する．

効率的なPDE係数の設定についてのこちらのヒントも参照のこと．

材料パラメータをモデルに挿入する．
音響クローウでPDEを解く．
音波の伝搬をハイライトされた境界で可視化する．

アニメーションの質を向上させる方法はこちらをご覧いただきたい．

音響クロークを使うと，入力および出力信号の波形が同じままなので，音圧場で剛壁円筒がほぼ不可視になる．

全体の圧力振幅場が入力音の振幅と同じならば，円筒は完全に不可視である．従って，クロークの性能を数量化する方法は，振幅偏差の分布を調べることである．

圧力振幅偏差を調べる．

音響クロークの外側では振幅偏差がの範囲に保たれているため，この領域では円筒はほぼ検出することができない．複合層の数を増やすことで，クロークの性能をさらに向上させる[5]ことができる．

用語集

記号解説単位
ρ媒体の密度[kg/m3]
c媒体内の音速[m/s]
p音圧[Pa]
pin入力音の振幅[Pa]
ω音波の角周波数[rad/s]
f音波周波数[Hz]
Fオプションの二重極音源[N/m3]
Qオプションの単極音源[1/s2]
X位置ベクトル[m]
r1円筒障害物の半径[m]
r2クローク境界の半径[m]
w領域の幅[m]
h領域の高さ[m]
Γin入口境界N/A
Γsym対称境界N/A
Γwall壁境界N/A
Γout遠方場境界N/A
Ω計算領域N/A

参照

1.  D. Torrent and J. Sánchez-Dehesa. Acoustic cloaking in two dimensions: a feasible approach. New Journal of Physics. 10 063015 (2008).