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ArcSinh

给出复数的反双曲正弦函数 .

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值计算.
对于某些特殊参数，ArcSinh 自动计算出精确值.
ArcSinh 可以计算到任意数值精度.
ArcSinh 自动逐项作用于列表的各个元素.
ArcSinh[z] 在复平面上有分支切割，从到，从到 .
ArcSinh 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

ArcSinh 是反双曲正弦函数. 对实数，ArcSinh[x] 表示满足的双曲角度且 .
ArcSinh 自动逐项作用于列表. 对某些特定变量值，ArcSinh 自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，ArcSinh 可以算出任意精度的数值结果. 对包含 ArcSinh 的符号表达式，适用的操作运算有 FunctionExpand、TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
对复变量，ArcSinh 的定义为 . ArcSinh[z] 在复平面上有一个不连续的分支切割.
与之相关的数学函数有 Sinh、ArcCosh 和 ArcSin.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (6)

数值计算：

在实数域子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0 处的级数展开：

在 Infinity 处的渐近展开：

奇点处的渐近展开：

范围 (45)

数值计算 (6)

数值计算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

对复数参数进行计算：

在高精度条件下高效计算 ArcSinh：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或使用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 以矩阵形式计算 ArcSinh 函数：

特殊值 (4)

ArcSinh 在固定点上的值：

无穷处的值：

ArcSinh 的零点：

求满足方程的的值：

代入值：

可视化结果：

可视化 (3)

绘制 ArcSinh 函数：

绘制的实部：

绘制的虚部：

，绘制极坐标图：

函数属性 (12)

ArcSinh 是针对所有实数和复数定义的：

ArcSinh 获取所有实数值：

复定义域参数的值域范围：

ArcSinh 是一个奇函数：

ArcSinh 具有镜像属性 $sinh^(-1)(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{{sinh, ^, {(, {-, 1}, )}}, (, z, )}}, Conjugate]$ ：

在实数上是的解析函数：

在复数上，既不是解析函数也不是亚纯函数：

ArcSinh 非递减：

ArcSinh 是单射函数：

ArcSinh 是满射函数：

ArcSinh 既不是非负，也不是非正：

ArcSinh 没有奇点和断点：

ArcSinh 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式输出：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

阶导数的公式：

积分 (3)

ArcSinh 的不定积分：

在以原点为中心的区间上，ArcSinh 的定积分为0：

更多积分：

级数展开式 (4)

使用 Series 求泰勒级数展开式：

绘制 ArcSinh 在处的前三个近似式：

ArcSinh 级数展开式的通项:

在分支点和分支切口处求级数展开：

ArcSinh 可被应用于幂级数：

积分变换 (2)

用 FourierTransform 计算傅立叶变换：

HankelTransform:

函数恒等式和化简 (3)

化简含有 ArcSinh 的表达式：

通过 TrigToExp 用对数来表示 ArcSinh：

假定实数变量和的情况下进行展开：

函数表示 (5)

使用 ArcCsch 表示：

通过逆 Jacobi 函数表示：

使用 Hypergeometric2F1 表示：

可用 MeijerG 表示ArcSinh：

ArcSinh 可被表示为 DifferentialRoot：

应用 (3)

计算双曲线从基底到给定之间的长度：

求解一个微分方程：

Sinh-Gordon 方程的解：

检验解：

绘制解：

属性和关系 (4)

与反函数合成：

利用 PowerExpand 去掉 ArcSinh 的多值性：

也可在附加假设条件下计算：

利用 TrigToExp 通过对数表示 ArcSinh：

利用 Reduce 通过 ArcSinh 求解一个方程：

ArcSinh 是某些特殊函数的特殊情况：

可能存在的问题 (2)

一般地，：

当在传统形式中使用输入时，自变量需要圆括号：

巧妙范例 (1)

计算到的100000 位，并显示前20位和后20位：

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