AsymptoticEqual

AsymptoticEqual[f,g,xx*]

给出当 xx* 时 或 的条件.

AsymptoticEqual[f,g,{x1,…,xn}{,…,}]

给出当 {x1,…,xn}{,…,} 时 或 的条件.

更多信息和选项

  • 渐近相等也被表示为 f 是 g 的大写的 theta，f 由 g 限定，f 的大小大约为 g，f 随 g 增长. 经常从上下文中估计点 x*.
  • 渐近相等是一种等价关系，意味着对于某些常数 和 ，当 x 靠近 x* 时， c_1 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]<=TemplateBox[{{f, (, x, )}}, Abs]<=c_2 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]. 它是比 AsymptoticEquivalent 更粗略的一种渐近等价关系.
  • 典型的用途包括表示函数和序列在一些点附近的简单界限. 它经常用于方程的渐近解，并给出计算复杂度的简单下界.
  • 对于有限极限点 x* 和 {,…,}，结果为：
  • AsymptoticEqual[f[x],g[x],xx*]存在 、 和 ，使得 0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, *}}}, Abs]<delta(c_1,c_2,x^*) 意味着 c_1 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]<=TemplateBox[{{f, (, x, )}}, Abs]<=c_2 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs] 成立
    AsymptoticEqual[f[x1,…,xn],g[x1,…,xn],{x1,…,xn}{,…,}]存在 、 和 ，使得 0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, *}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, *}}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*) 意味着 c_1 TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c_2 TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs] 成立
  • 对于无限极限点，结果为：
  • AsymptoticEqual[f[x],g[x],x∞]存在 、 和 ，使得 意味着 c_1 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]<=TemplateBox[{{f, (, x, )}}, Abs]<=c_2 TemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs] 成立
    AsymptoticEqual[f[x1,…,xn],g[x1,…,xn],{x1,…,xn}{∞,…,∞}]存在 、 和 ，使得 意味着 c_1 TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c_2 TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs] 成立
  • 在 x* 附近 g[x] 的值不为无限个零时，当且仅当 MinLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx*]>0 和 MaxLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx*]<∞ 成立时，AsymptoticEqual[f[x],g[x],xx*] 才存在.
  • 可以给出下列选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的设定
    Direction Reals趋近极限点的方向
    GenerateConditions Automatic对参数生成条件
    MethodAutomatic所使用的方法
    PerformanceGoal"Quality"优化目标
  • Direction 的可能设置包括：
  • Reals or "TwoSided"从两个实方向
    "FromAbove" or -1从上面或较大的值
    "FromBelow" or +1从下面或较小的值
    Complexes从所有复方向
    Exp[ θ]从方向
    {dir1,…,dirn}对变量 xi 分别使用方向 diri
  • 在 x* 处的 DirectionExp[ θ] 表示接近极限点 x* 的曲线的方向切线.
  • GenerateConditions 的可能设置包括：
  • Automatic只给出非通用条件
    True所有条件
    False不给出条件
    None如果需要条件则不经计算直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticEqual 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

验证当 时，：

前者可以“夹在”后者的两个固定倍数之间：

验证当 时，：

前者可以“夹在”后者的两个固定倍数之间：

范围  (9)

比较不是严格为正 (positive) 的函数:

显示在原点处 发散的速度与 相同：

答案可能是布尔表达式，而不是明确的 True 或 False：

当比较有参数的函数时，可能会针对结果给出条件：

缺省情况下，在两个方向上对函数进行比较：

当比较较大的 值时， 与 x^2(1-cos(x)) TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq] 减小的速率相同：

但对于较小的 值，这种关系不再成立：

可视化两个函数的比值，显示它从上面趋近于非零极限：

像 Sqrt 这样的函数可能在负实数的两个实数方向上具有相同的关系：

如果从复平面的上方接近，可以看到同样的关系：

然而，如果从复平面的下方接近会得到不同的结果：

这是由于在与坐标轴相交时 Sqrt 的虚部的符号发生了反转：

因而，总的来说，这种关系在复平面上不成立：

可视化从四个实方向和虚方向逼近时函数的相对大小：

比较多变量函数：

可视化两个函数的范数：

在无穷大处比较多变量函数：

在比较多变量函数时使用参数：

选项  (9)

Assumptions  (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

不同的假设给出不同的结果：

Direction  (5)

从下方比较相等性：

等价于：

从上方比较相等性：

等价于：

在分段不连续处的相等性：

由于在一个方向上不成立，两个方向上同样不成立：

可视化两个函数及它们的比值：

在极点处的相等性与逼近的方向无关：

在分支切割处的相等性：

从不同象限逼近，计算相等性：

从第三象限逼近原点：

等价于：

从第二象限逼近原点：

从右半平面逼近原点：

从下半平面逼近原点：

可视化函数的比值：

GenerateConditions  (3)

返回结果，不给出条件：

只有在 n>0 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，不计算，直接返回：

缺省情况下，如果结果只在特殊值的时候才无效，不给出条件：

当 GenerateConditions->True 时，非通用条件也要报告：

应用  (10)

基本应用  (5)

证明在无穷远处等价的两个单项式具有相同的幂：

用上式来证明两个等价的多项式的大小相同：

可视化三对渐近等价多项式的比值：

证明在 处等价的两个形为 的单项式具有相同的幂：

用上式来证明两个形为 的等价多项式的首项单项式相同：

可视化三对形为 的渐近等价的多项式的比值：

证明在 处 ：

可视化该函数：

尽管它们的比值的绝对值在 ，但始终是偏离 值的：

证明 ：

尽管它们的比值的绝对值在 时不断地摆动，但始终是偏离 值的：

证明在 处 ：

计算复杂度  (3)

在冒泡排序中，对相邻的项进行比较，如果顺序不对即进行交换. 经过 n-1 次比较后，最大的元素在最后. 然后在剩余的 n-1 个元素上重复该过程，直到开头处只剩下两个元素. 如果比较和交换需要 c 个步骤，则排序需要的总步骤如下所示：

证明 ，因此该算法具有二次幂的运行时间：

显示不同 c 值的两个函数的比值：

在合并排序中，元素列表被分成两部分，分别对每部分进行排序，然后合并两个部分. 因此，进行排序的总时间 T[n] 将是用于计算中值的某个固定时间 b 加上对每一半元素进行排序的时间 2T[n/2]，再加上用于将两部分元素合并在一起的时间，即元素个数的倍数 a n：

求解循环方程，计算对 n 个元素进行排序所需的时间 t：

证明 ，因此算法的运行时间为 ：

Strassen 算法是第一个发现的 subcubic 矩阵乘法算法. 它由 4 个步骤组成：将两个 矩阵中的每一个分成 4 个大小相等的子矩阵，从 8 个子矩阵中形成 14 个特定的线性组合，将 7 对这样的组合相乘，形成 7 个结果的线性组合. 因此，执行乘法的时间 将是用于分割矩阵的固定定时间 ，在第二和第四步中形成线性组合的时间则为 ，第三步花费的时间则为 ：

求解循环关系式：

尽管结果很复杂，它渐近等于 ：

比较 naive cubic 算法和 Strassen 算法的增长率：

收敛性测试  (2)

如果 sum_(n=1)^inftyTemplateBox[{{a, _, n}}, Abs]<infty，序列 被认为是绝对可以求和的. 如果第二个序列 ，比较测试指出，当且仅当 是绝对可以求和的， 才是绝对可以求和的. 通过与 的和进行比较，用测试证明 收敛：

与 SumConvergence 给出的答案比较：

通过与 的和进行比较，证明 收敛：

通过与 的和进行比较，证明 发散：

与 SumConvergence 给出的答案比较：

因此序列 不是绝对可以求和的：

如果 int_a^bTemplateBox[{{f, , {(, x, )}}}, Abs]dx<infty，函数 被认为在 上是绝对可积的. 如果 和 在开区间 上是连续的，且在 和 处有 ，比较测试指出，当且仅当 是绝对可积的， 才是绝对可积的. 用测试证明 在 上是绝对可积的：

因为 在 上是绝对可积的，所以 也是如此：

通过与 比较，可以证明 在 上不可积：

结果来自 在单位区间上的不可积性：

函数 在 上不是绝对可积的：

通过与 比较，证明 TemplateBox[{x}, LogIntegral]/x 同样不是绝对可积的：

属性和关系  (6)

AsymptoticEqual 是一种等价关系，意味着它是自反的（即 ）：

还是一种传递关系（即若 和 成立，则有 ）：

也是对称的（即 意味着 ）：

当且仅当 MaxLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx0]<∞ 和 MinLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx0]>0 时，AsymptoticEqual[f[x],g[x],xx0] 的结果为：

如果 0<Limit[Abs[f[x]/g[x]],xx0]<∞，则 AsymptoticEqual[f[x],g[x],xx0] 的结果为：

但极限不必存在：

当且仅当 和 时，：

如果 或 ，则 ：

但反过来不成立：

如果 ，则 ：

但反过来不成立，所以 AsymptoticEqual 没有 AsymptoticEquivalent 严格：

Wolfram Research (2018)，AsymptoticEqual，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html.

文本

Wolfram Research (2018)，AsymptoticEqual，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html.

CMS

Wolfram 语言. 2018. "AsymptoticEqual." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html.

APA

Wolfram 语言. (2018). AsymptoticEqual. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_asymptoticequal, author="Wolfram Research", title="{AsymptoticEqual}", year="2018", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_asymptoticequal, organization={Wolfram Research}, title={AsymptoticEqual}, year={2018}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEqual.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}