BellY

BellY[n,k,{x₁,…,x_n-k+1}]

部分的なベル(Bell)多項式 $TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY]$ を与える．

BellY[n,k,m]

行列 m の一般化されたベル部分多項式を与える．

BellY[m]

行列 m の一般化されたベル多項式を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
ベルの部分多項式は，ファー・ディ・ブルーノ(Faà di Bruno)の公式 $D_t^nf(g(t))=sum_(k=0)^nf^((k))(g(t)) TemplateBox[{n, k, {{g, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, {{g, ^, {(, '', )}}, (, t, )}, ..., {{g, ^, {(, {(, {n, -, k, +, 1}, )}, )}}, (, t, )}}, BellY]$ を通して，2つの関数の合成関数の次導関数を表すのに用いられる． »
BellY多項式 $TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY]$ は ⋯ Boole[m₁+2 m₂+⋯+n m_nn∧m₁+m₂+⋯+m_nk] (x_s/s!)^m_sで与えられる． »
一般化されたベル多項式は，個の関数の合成関数 $D_t^nf_1(f_2(...f_m(t)...))⩵TemplateBox[{{{{{{f, _, 1}, '}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, '}, {(, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, '}, {(, t, )}}}, ; , {{{{f, _, 1}, ''}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, ''}, {(, {{f, _, 3}, {(, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, ''}, {(, t, )}}}, ; , {|, , |, , ..., , |}, ; , {{{{f, _, 1}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , {{{f, _, 2}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , ..., , {{{f, _, m}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, t, )}}}}, BellY1]$ の次導関数を表すのに用いられる．
BellY[n,k,m]はBellY[]に等しい．ただしはUnitVector[n,k]を第1列として m の先頭に加えることで形成される． »

予備知識

BellYは，指定された変数または行数がである行列に対する部分Bell多項式，または任意の行列に対する一般化Bell多項式を返す．ここで，であり，この総和は，がおよびを満たす非負整数列すべてついて取られる．これによって部分Bell多項式は，個のオブジェクトを個の空でない部分集合へと分割する方法を，という形の項の総和を通して符号化する．これは，通りの方法で，個のオブジェクトをそれぞれ , 個の部分集合，, 個の部分集合等々に分割する場合を表す（このとき，かつであることが必要である）．例えば，は，6個のオブジェクトを2つの空でない部分集合に分ける際に，それぞれ3個のオブジェクトから成る2つの部分集合で構成される分割が10通り，2個と4個のオブジェクトから成る部分集合で構成される分割が15通り，1個と5個のオブジェクトから成る部分集合で構成される分割が6通り存在することを示す．
Faà di Brunoの公式は，微分法則の連鎖率を一般化し，2つの関数の合成関数の階微分を部分Bell多項式で表現するものであり，その明示的な形はで与えられる．さらに，この連鎖率は，階微分について個の関数の合成に対しても一般化される．この場合，一般化Bell多項式を用いる．これは，関係式を満たす唯一の関数として定義される（例えば，は通常の連鎖率による）．さらに，一般化された部分Bell多項式は，一般化Bell多項式を用いて $TemplateBox[{n, k, {{{z, _, {(, {1, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {1, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {1, ,, m}, )}}}, ; , {|, , |, , |, , |}, ; , {{z, _, {(, {k, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {k, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {k, ,, m}, )}}}, ; , {|, , |, , |, , |}, ; , {{z, _, {(, {n, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {n, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {n, ,, m}, )}}}}}, BellYMatrix]=TemplateBox[{{{0, , {z, _, {(, {1, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {1, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {1, ,, m}, )}}}, ; , {|, , |, , |, , |, , |}, ; , {0, , {z, _, {(, {{k, -, 1}, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {{k, -, 1}, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {{k, -, 1}, ,, m}, )}}}, ; , {1, , {z, _, {(, {k, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {k, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {k, ,, m}, )}}}, ; , {0, , {z, _, {(, {{k, +, 1}, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {{k, +, 1}, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {{k, +, 1}, ,, m}, )}}}, ; , {|, , |, , |, , |, , |}, ; , {0, , {z, _, {(, {n, ,, 1}, )}}, , {z, _, {(, {n, ,, 2}, )}}, , ..., , {z, _, {(, {n, ,, m}, )}}}}}, BellY1]$ と定義される．したがって，拡張されたFaà di Brunoの公式 $D_t^nf_1(f_2(...f_m(t)...))=sum_(k=1)^nTemplateBox[{n, k, {{{{{f, _, 2}, '}, {(, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, '}, {(, t, )}}}, ; , {{{{f, _, 2}, ''}, {(, {{f, _, 3}, {(, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, ''}, {(, t, )}}}, ; , {|, , |, , |}, ; , {{{{f, _, 2}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , ..., , {{{f, _, m}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, t, )}}}}, BellYMatrix]f_1^((k))(f_2(... f_m(t)...))$ が成り立つ．
いくつかの著名な整数列は，部分Bell多項式を特定の引数に適用することによって得られる．StirlingS1およびStirlingS2で与えられるおよびを，それぞれ第1種および第2種のスターリング数を表すものとすると， $Y_(n,k)(0!,...,(n-k)!)=TemplateBox[{TemplateBox[{n, k}, StirlingS1, SyntaxForm -> SubsuperscriptBox]}, Abs]$ および $Y_(n,k)(1,...,1)=TemplateBox[{n, k}, StirlingS2]$ が得られる．さらに，およびを，それぞれ第 Bell多項式および第 Bell数を表し，これらはいずれもBellBで与えられるものとするならば， $TemplateBox[{n, x}, BellB2]=sum_(k=0)^nY_(n,k)(x,...,x)$ およびが得られる．

例題

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例 (3)

部分ベル多項式：

Wolfram Language code: BellY[4, 2, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3]}]

一般化された部分ベル多項式：

Wolfram Language code: BellY[4, 2, {{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3]}, {Subscript[y, 1], Subscript[y, 2], Subscript[y, 3]}}]

一般化されたベル多項式：

Wolfram Language code:

BellY[{{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3]}, {Subscript[y, 1], Subscript[y, 2], Subscript[y, 3]}, {Subscript[z, 1], Subscript[z, 2], Subscript[z, 3]}}]

スコープ (1)

数値行列について評価する：

Wolfram Language code: BellY[Partition[Range[25], 5]]

アプリケーション (13)

微積分 (3)

一般化された連鎖規則では，BellYを使っての次導関数を直接計算することができる，つまり $(partial^nf(g(x)))/(partialx^n)=sum_(k=1)^nf^((k))(g(x)) TemplateBox[{n, k, {{(, {partial, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, 1}}, )}}, ..., {{(, {{partial, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, )}}}, BellY]$ である．記号的なとで，低次のについてこれを確かめる：

Wolfram Language code:

GeneralizedChainRule[{f_, g_}, {x_, n_}] := 
	Sum[Derivative[k][f][g[x]]BellY[n, k, Table[D[g[x], {x, i}], {i, n - k + 1}]], {k, n}]

のときは正規連鎖規則になる：

Wolfram Language code: GeneralizedChainRule[{f, g}, {x, 1}]

Wolfram Language code: D[f[g[x]], x]

のときは，ファー・ディ・ブルーノの公式と呼ばれるものになる：

Wolfram Language code: D[f[g[x]], {x, 2}]

Wolfram Language code: GeneralizedChainRule[{f, g}, {x, 2}]

Wolfram Language code: D[f[g[x]], {x, 3}]

Wolfram Language code: GeneralizedChainRule[{f, g}, {x, 3}]

この式から，では，導関数が，で多項式である係数を持ち，線形であることが直接見て取れる．ただし， $TemplateBox[{n, k, {g, ^, {(, ', )}}, ..., {g, ^, {(, {(, {{-, k}, +, n, +, 1}, )}, )}}}, BellY]$ はの多項式係数である．ベル係数をパネルにして，この関係が明白となるタイプセットの規則を定義する：

Wolfram Language code:

pnl[e_Plus, col_] := Panel[Row[{"(", e, ")"}], Background -> col];
pnl[e_, col_] := Panel[e, Background -> col];
ChainRuleTypeset[{f_, g_}, {x_, n_}] := Row[Table[Row[{pnl[BellY[n, k, Table[D[g[x], {x, i}], {i, n - k + 1}]], StandardBlue], pnl[Derivative[k][f][g[x]], StandardOrange]}, " "], {k, n}], "+"]

一次導関数のいくつか：

Wolfram Language code: ChainRuleTypeset[{f, g}, {x, 2}]

Wolfram Language code: ChainRuleTypeset[{f, g}, {x, 3}]

Wolfram Language code: ChainRuleTypeset[{f, g}, {x, 4}]

Wolfram Language code: ChainRuleTypeset[{f, g}, {x, 5}]

BellY多項式を使ってGamma関数の四次導関数を計算する：

Wolfram Language code: Gamma[n]BellY[Table[{1, PolyGamma[k - 1, n]}, {k, 4}]]//Expand

導関数の明示的な評価と比較する：

Wolfram Language code: D[Gamma[n], {n, 4}]

一連の逆関数を計算する：

Wolfram Language code:

n = 4;
(x/C[1]) + Underoverscript[∑, j = 2, n](x^j/C[1]^jj!)BellY[Table[{Pochhammer[j, k - 1], -(k - 1)! (C[k]/C[1])}, {k, 2, j}]] + O[x]^n + 1//Simplify

InverseSeriesの結果と比較する：

Wolfram Language code: InverseSeries[Underoverscript[∑, j = 1, n]C[j]x^j + O[x]^n + 1]//Simplify

組合せ論 (6)

第1種スターリング数を部分ベル多項式によって計算する：

Wolfram Language code: Table[BellY[n, k, Table[(-1)^jj!, {j, 0, n}]], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]

Wolfram Language code: Table[StirlingS1[n, k], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]

第2種スターリング数を部分ベル多項式によって計算する：

Wolfram Language code: Table[BellY[n, k, ConstantArray[1, n]], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]

Wolfram Language code: Table[StirlingS2[n, k], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]

一般化されたベル多項式を使ってベル数を計算する：

Wolfram Language code: Table[BellY[ConstantArray[1, {n, 2}]], {n, 10}]

Wolfram Language code: Table[BellB[n], {n, 10}]

一般化されたベル多項式を使ってベル多項式BellB[n,z]を計算する：

Wolfram Language code: Table[BellY[ConstantArray[{1, z}, n]], {n, 5}]

Wolfram Language code: Table[BellB[n, z], {n, 5}]

一般化されたベル多項式を使ってカタラン(Catalan)数を計算する：

Wolfram Language code: Table[BellY[Transpose[{1 / Range[n, 1, -1]!, Range[n]!}]], {n, 10}]

Wolfram Language code: Table[CatalanNumber[n], {n, 10}]

レベルの枚の葉を持つラベル付きの根の木の数：

Wolfram Language code: Table[BellY[ConstantArray[1, {n, n}]], {n, 1, 10}]

別の式と比較する：

Wolfram Language code: sm = Table[StirlingS2[s, t], {s, 10}, {t, 10}];

Wolfram Language code: Table[MatrixPower[sm, n][[n, 1]], {n, 10}]

次数 n の対称群の巡回指標多項式：

Wolfram Language code:

n = 5;
vars = Table[Subscript[x, k], {k, n}];
BellY[Transpose[{ConstantArray[(1/n!), n], Range[0, n - 1]!vars}]]

CycleIndexPolynomialの結果と比較する：

Wolfram Language code: CycleIndexPolynomial[SymmetricGroup[n], vars]

次数 n の交代群の巡回指標多項式：

Wolfram Language code: BellY[Transpose[{Table[(1 + (-1)^n + k/n!), {k, n}], Range[0, n - 1]!vars}]]

CycleIndexPolynomialの結果と比較する：

Wolfram Language code: CycleIndexPolynomial[AlternatingGroup[n], vars]

ベルの部分多項式からの6つの要素の集合を2つの部分集合に分割する方法がいくつあるか求める：

Wolfram Language code: BellY[6, 2, Array[x, 6]]

部分分割の明示的な反復生成でチェックする：

Wolfram Language code:

AdjoinElement[s_, el_] := Table[Sequence@@Join[Table[Insert[o, el, {k, -1}], {k, Length[o]}], {Insert[o, {el}, -1]}], {o, s}]

Wolfram Language code:

SetPartitions[{}] := {{}};
SetPartitions[s_List] := AdjoinElement[SetPartitions[Most[s]], Last[s]]

6つの要素を持つ集合を3要素ずつの2つの部分集合に分割する方法は10通りある：

Wolfram Language code: Count[SetPartitions[Range[6]], x_ /; Sort[Length /@ x] == {3, 3}]

6要素を持つ集合を4要素と2要素の2つの部分集合に分割する方法は15通りある：

Wolfram Language code: Count[SetPartitions[Range[6]], x_ /; Sort[Length /@ x] == {2, 4}]

6要素を持つ集合を5要素と1要素の2つの部分集合に分割する方法は6通りある：

Wolfram Language code: Count[SetPartitions[Range[6]], x_ /; Sort[Length /@ x] == {1, 5}]

その他のアプリケーション (4)

n 変数の完全ベル多項式を定義する：

Wolfram Language code: bellComplete[vars__] := With[{tmp = {vars}}, BellY[Transpose[{ConstantArray[1, Length[tmp]], tmp}]]]

最初のいくつかの完全ベル多項式を示す：

Wolfram Language code: {bellComplete[x], bellComplete[x, y], bellComplete[x, y, z], bellComplete[x, y, z, w]}//Column

キュムラントによって3番目の生のモーメントを計算する：

Wolfram Language code: BellY[Table[{1, Cumulant[k]}, {k, 3}]]

Wolfram Language code: MomentConvert[Moment[3], "Cumulant"]

生のモーメントによって3番目のキュムラントを計算する：

Wolfram Language code: BellY[Table[{(-1)^k - 1(k - 1)!, Moment[k]}, {k, 3}]]

Wolfram Language code: MomentConvert[Cumulant[3], "Moment"]

二項型の多項式列を構築する：

Wolfram Language code: p[n_Integer ? NonNegative, x_] := Sum[BellY[n, k, Array[a, n]]x ^ k, {k, 0, n}]

その定義個等式を検証する：

Wolfram Language code: Table[p[n, x + y] == Sum[Binomial[n, k]p[k, x]p[n - k, y], {k, 0, n}]//Simplify, {n, 0, 10}]

BellB[n,z]を特別なケースとして回復する：

Wolfram Language code: Table[p[n, z], {n, 5}] /. a[_] -> 1

Wolfram Language code: Table[BellB[n, z], {n, 5}]

n 番目の初等対称多項式はBellYによって定義できる：

Wolfram Language code: ee[n_, vars_] := BellY[Table[{(1/n!), (-1)^k - 1(k - 1)!Total[vars^k]}, {k, n}]]

変数が5つのケースについてSymmetricPolynomialと比較する：

Wolfram Language code: Table[ee[k, {x, y, z, u, v}] == SymmetricPolynomial[k, {x, y, z, u, v}]//Simplify, {k, 5}]

特性と関係 (6)

部分ベル多項式をその総和表現を使って計算する：

Wolfram Language code:

With[{n = 7, k = 2}, 
	Sum[n!Apply[Times, ((Array[, n]/Range[n]!))^m(1/m!)], {m, FrobeniusSolve[Range[n], n]⋂FrobeniusSolve[ConstantArray[1, n], k]}]]

BellYと比較する：

Wolfram Language code: With[{n = 7, k = 2}, BellY[n, k, Array[, n]]]

Cvijovićの反復和の式を使って部分ベル多項式を計算する：

Wolfram Language code:

With[{n = 7, k = 2}, 
	Sum[(Binomial[n, i[1]]/k!)[n - i[1]][i[k - 1]]Underoverscript[∏, r = 1, k - 2]Binomial[i[r], i[r + 1]][i[r] - i[r + 1]], Evaluate[Sequence@@Prepend[Table[{i[r + 1], k - r - 1, i[r] - 1}, {r, k - 2}], {i[1], k - 1, n - 1}]]]]

BellYと比較する：

Wolfram Language code: With[{n = 7, k = 2}, BellY[n, k, Array[, n]]]

部分ベル多項式の線形結合：

Wolfram Language code:

n = 5;
Sum[C[k]BellY[n, k, Table[[k], {k, n}]], {k, n}]

一般化されたベル多項式による同等の式：

Wolfram Language code: BellY[Table[{C[k], [k]}, {k, n}]]

Wolfram Language code: %% == %//Simplify

行列の一般化された部分ベル多項式：

Wolfram Language code:

n = 4;k = 3;
mat = (⁠|         |         |
| ------- | ------- |
| [1, 1] | [1, 2] |
| [2, 1] | [2, 2] |
| [3, 1] | [3, 2] |
| [4, 1] | [4, 2] |⁠);
BellY[n, k, mat]

これは，単にベクトルを列として先頭に加えることで一般化されたベル多項式によって計算することができる：

Wolfram Language code: BellY[Join[Transpose[{UnitVector[n, k]}], mat, 2]]

行列の一般化された部分ベル多項式の線形結合は，行列の係数を列として先頭に加えることで一般化されたベル多項式として表現できる：

Wolfram Language code: Sum[C[k]BellY[n, k, mat], {k, n}] == BellY[Join[Transpose[{Table[C[k], {k, n}]}], mat, 2]]//Simplify

の三次導関数のファー・ディ・ブルーノの公式：

Wolfram Language code: Sum[Derivative[k][f][g[z]] BellY[3, k, {Derivative[1][g][z], Derivative[2][g][z], Derivative[3][g][z]}], {k, 1, 3}]

Wolfram Language code:

BellY[{{Derivative[1][f][g[z]], Derivative[1][g][z]}, {Derivative[2][f][g[z]], Derivative[2][g][z]}, {Derivative[3][f][g[z]], Derivative[3][g][z]}}]

Wolfram Language code: D[f[g[z]], {z, 3}]

一般化されたベル多項式の逆関係を示す：

Wolfram Language code:

n = 5;
yk = Table[BellY[Table[{1, [j]}, {j, k}]], {k, n}]

Wolfram Language code: Table[BellY[Table[{(-1)^j - 1(j - 1)!, Subscript[yk, [[j]]]}, {j, k}]], {k, n}]//Simplify

おもしろい例題 (2)

一般化されたベル多項式を用いてベルヌーイ(Bernoulli)数を生成する：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[(Exp[t] - 1/t), {t, 0, r}, Assumptions -> r ≥ 0]r!

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[u^-1, {u, 1, r}, Assumptions -> r ≥ 0]r!

Wolfram Language code: Table[BellY[Table[{%, %%}, {r, n}]], {n, 20}]

Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n], {n, 20}]

一般化されたベル多項式を使ってオイラー数を生成する：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[Cosh[t], {t, 0, r}, Assumptions -> r ≥ 0]r!//Simplify

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[u^-1, {u, 1, r}, Assumptions -> r ≥ 0]r!

Wolfram Language code: Table[BellY[Table[{%, %%}, {r, n}]], {n, 20}]

Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 20}]

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