一般化された連鎖規則では，BellYを使って の 次導関数を直接計算することができる，つまりである．記号的な と で，低次の についてこれを確かめる：

のときは正規連鎖規則になる：

のときは，ファー・ディ・ブルーノの公式と呼ばれるものになる：

この式から，では，導関数が，で多項式である係数を持ち，線形であることが直接見て取れる．ただし，は の多項式係数である．ベル係数をパネルにして，この関係が明白となるタイプセットの規則を定義する：

一次導関数のいくつか：

BellY多項式を使ってGamma関数の四次導関数を計算する：

導関数の明示的な評価と比較する：

一連の逆関数を計算する：

InverseSeriesの結果と比較する：

第1種スターリング数を部分ベル多項式によって計算する：

第2種スターリング数を部分ベル多項式によって計算する：

一般化されたベル多項式を使ってベル数を計算する：

一般化されたベル多項式を使ってベル多項式BellB[n,z]を計算する：

一般化されたベル多項式を使ってカタラン(Catalan)数を計算する：

レベルの 枚の葉を持つラベル付きの根の木の数：

別の式と比較する：

次数 n の対称群の巡回指標多項式：

CycleIndexPolynomialの結果と比較する：

次数 n の交代群の巡回指標多項式：

CycleIndexPolynomialの結果と比較する：

ベルの部分多項式からの6つの要素の集合を2つの部分集合に分割する方法がいくつあるか求める：

部分分割の明示的な反復生成でチェックする：

6つの要素を持つ集合を3要素ずつの2つの部分集合に分割する方法は10通りある：

6要素を持つ集合を4要素と2要素の2つの部分集合に分割する方法は15通りある：

6要素を持つ集合を5要素と1要素の2つの部分集合に分割する方法は6通りある：

n 変数の完全ベル多項式を定義する：

最初のいくつかの完全ベル多項式を示す：

キュムラントによって3番目の生のモーメントを計算する：

生のモーメントによって3番目のキュムラントを計算する：

二項型の多項式列を構築する：

その定義個等式を検証する：

BellB[n,z]を特別なケースとして回復する：

n 番目の初等対称多項式はBellYによって定義できる：

変数が5つのケースについてSymmetricPolynomialと比較する：