BellY

BellY[n,k,{x1,…,xn-k+1}]

给出部分贝尔多项式 TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY].

BellY[n,k,m]

给出矩阵 m 的广义部分贝尔多项式.

BellY[m]

给出矩阵 m 的广义贝尔多项式.

更多信息

  • 数学函数，适合于符号与数值运算.
  • 部分贝尔多项式可通过 Faà di Bruno 公式 D_t^nf(g(t))=sum_(k=0)^nf^((k))(g(t)) TemplateBox[{n, k, {{g, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, {{g, ^, {(, '', )}}, (, t, )}, ..., {{g, ^, {(, {(, {n, -, k, +, 1}, )}, )}}, (, t, )}}, BellY] 来表示两个函数的合成函数的 阶导数. »
  • BellY 多项式 TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY] 由 ⋯ Boole[m1+2 m2+⋯+n mnn∧m1+m2+⋯+mnk] (xs/s!)ms 得到. »
  • 广义贝尔多项式可用于表示由 个函数组成的合成函数的 阶导数D_t^nf_1(f_2(...f_m(t)...))⩵TemplateBox[{{{{{{f, _, 1}, '}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, '}, {(, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, '}, {(, t, )}}}, ; , {{{{f, _, 1}, ''}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, ''}, {(, {{f, _, 3}, {(, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, ''}, {(, t, )}}}, ; , {|, , |, , ..., , |}, ; , {{{{f, _, 1}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , {{{f, _, 2}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , ..., , {{{f, _, m}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, t, )}}}}, BellY1].
  • BellY[n,k,m] 等价于 BellY[]，其中 通过将 UnitVector[n,k] 作为第一列添加到 m 构成. »

范例

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基本范例  (3)

偏贝尔多项式：

广义偏贝尔多项式：

广义贝尔多项式：

范围  (1)

计算数值矩阵：

应用  (13)

微积分  (3)

广义链式法则允许使用 BellY:(partial^nf(g(x)))/(partialx^n)=sum_(k=1)^nf^((k))(g(x)) TemplateBox[{n, k, {{(, {partial, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, 1}}, )}}, ..., {{(, {{partial, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, )}}}, BellY] 直接计算 的 阶导数，对于 的较低阶数和符号式 和 验证这一点：

对于 ，这变成正态链式法则：

对于 ，这也称作 Faà di Bruno 公式：

根据此式，可以直接看出，对于 中的多项式系数， 中的导数是线性的，其中 TemplateBox[{n, k, {g, ^, {(, ', )}}, ..., {g, ^, {(, {(, {{-, k}, +, n, +, 1}, )}, )}}}, BellY] 是 的多项式系数. 定义一个排版格式，通过镶嵌贝尔系数，使得这种关系是显而易见的：

前几个一阶导数：

利用 BellY 多项式计算 Gamma 函数的4阶导数：

Compare with the explicit evaluation of the derivative:

计算一个反函数的级数：

Compare with the result of InverseSeries:

组合数学  (6)

用贝尔多项式计算第一类斯特灵数：

用贝尔多项式计算第二类斯特灵数：

使用广义贝尔多项式计算贝尔数：

使用广义贝尔多项式计算贝尔多项式 BellB[n,z]：

使用广义贝尔多项式计算卡塔兰数：

有 个树叶的 层带标签有根树的数量：

与其他公式进行比较：

n 次对称组的循环指数多项式：

与 CycleIndexPolynomial 的结果对比：

n 次级交替组的循环指数多项式：

与 CycleIndexPolynomial 的结果对比：

用贝尔局部多项式求得将一个包含 6 个元素的集合分成两个子集的方法数量：

通过显式递归生成集合分区进行检验：

有 10 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 3+3 个元素的子集：

有 15 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 4+2 个元素的子集：

有 6 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 5+1 个元素的子集：

其他应用  (4)

定义 n 个变量的完整贝尔多项式：

显示前几个完整的贝尔多项式：

用累积量计算第三个原始矩：

用原始矩计算第三个累积量：

构建二项式型多项式序列：

验证定义的恒等：

将 BellB[n,z] 作为特例复原：

第 n 个基本对称多项式可以用 BellY 定义：

在五个变量的情况下，与 SymmetricPolynomial 进行比较：

属性和关系  (6)

使用贝尔局部多项式的和表示法计算部分贝尔多项式：

与 BellY 比较：

使用 Cvijović 的迭代求和公式计算贝尔局部多项式：

与 BellY 进行比较：

贝尔局部多项式的线性组合：

以广义贝尔多项式表示的等价表达式：

矩阵的广义局部贝尔多项式：

这可以用广义贝尔多项式来计算，方法是加入一个单位向量作为列：

矩阵的广义部分贝尔多项式的线性组合，可以通过在矩阵中加入系数列表达为广义贝尔多项式：

对于 的第三阶导数的 Faà di Bruno 公式：

证明广义贝尔多项式的逆关系：

巧妙范例  (2)

利用广义贝尔多项式生成伯努力数：

使用广义贝尔多项式生成欧拉数：

Wolfram Research (2010)，BellY，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BellY.html.

文本

Wolfram Research (2010)，BellY，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BellY.html.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "BellY." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/BellY.html.

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Wolfram 语言. (2010). BellY. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/BellY.html 年

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