BernoulliB

BernoulliB[n]

ベルヌーイ(Bernoulli)数 TemplateBox[{n}, BernoulliB]を与える．

BernoulliB[n,x]

ベルヌーイの多項式 TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2]を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • ベルヌーイの多項式は，母関数の関係式 te^(xt)/(e^t-1)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2](t^n/n!)を満足させる．
  • ベルヌーイ数は，TemplateBox[{n}, BernoulliB]=TemplateBox[{n, 0}, BernoulliB2]で与えられる．
  • 奇数の については，ベルヌーイ数は TemplateBox[{1}, BernoulliB]=-1/2を除いて0である．
  • BernoulliBは任意の数値精度で評価できる．
  • BernoulliBは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (2)

最初の10個のベルヌーイ数：

ベルヌーイ多項式：

スコープ  (3)

BernoulliBは要素単位でリストに適用される：

ベルヌーイ多項式をプロットする：

TraditionalFormによる表示：

アプリケーション  (6)

BernoulliBを使ってベキの和 を求める（Faulhaberの公式）：

直接合計したものと比べる：

オイラー・マクローリン(Euler–Maclaurin)の積分式を設定する：

これを に使う：

厳密な総和結果と比べる：

複素平面でベルヌーイ多項式の根をプロットする：

ベルヌーイ数が極限形に近付く様子を示す：

ベルヌーイ数の分母はフォン・シュタウトとクラウセン(von Staudt–Clausen)の定理で与えられる：

素数を法とするモジュラ演算でベルヌーイ数を計算する：

特性と関係  (3)

母関数からBernoulliB数を求める：

母関数からBernoulliB多項式を求める：

BernoulliBはDifferenceRootとして表すことができる：

考えられる問題  (2)

アルゴリズムを使って求められた結果は，BernoulliBではなくZetaを使って表されることが多い：

慣用形で入力された場合，は自動的にはベルヌーイ数と解釈されない：

おもしろい例題  (3)

Umbral Calculusでベルヌーイ数からベルヌーイ多項式に移行する：

20000番目のベルヌーイ数を1秒以内に計算することができる：

成分がベルヌーイ数であるハンケル(Hankel)行列を定義する：

その行列式はバーンズ(Barnes)のG関数で表現できる：

Wolfram Research (1988), BernoulliB, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （2008年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), BernoulliB, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （2008年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "BernoulliB." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2008. https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html.

APA

Wolfram Language. (1988). BernoulliB. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html

BibTeX

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BibLaTeX

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