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Beta

Beta[a,b]

オイラー(Euler)のベータ関数を与える．

Beta[z,a,b]

不完全ベータ関数を与える．

詳細

Betaは記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
$TemplateBox[{a, b}, Beta]=TemplateBox[{a}, Gamma]TemplateBox[{b}, Gamma]/TemplateBox[{{a, +, b}}, Gamma]=int_0^1t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt$
$TemplateBox[{z, a, b}, Beta3]=int_0^zt^(a-1)(1-t)^(b-1)dt$
Beta[z,a,b]は，複素平面上に，〜の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
Beta[z₀,z₁,a,b]は，一般的不完全ベータ関数を与える．
不完全ベータ(Beta)関数の引数は，不完全ガンマ(Gamma)関数と異なった並び順をすることに注意．
特別な引数の場合，Betaは，自動的に厳密値を計算する．
Betaは任意の数値精度で評価できる．
Betaは自動的にリストに縫い込まれる．
TraditionalFormの設定では，\[CapitalBeta]を使ってBetaが表示される．
BetaはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (6)

厳密値：

数値的に評価する：

実数の部分集合上でをプロットする：

実数の部分集合上で不完全ベータ関数をプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

スコープ (42)

数値評価 (8)

数値的に評価する：

特別な場合には記号的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

大きい引数について評価する：

複素引数について評価する：

Betaを高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のBeta関数を計算することもできる：

特定の値 (4)

無限大における値：

の零点を求める：

不完全ベータ関数を整数次と半整数次で記号的に評価する：

一般化された不完全ベータ関数を記号的に評価する：

可視化 (2)

をプロットする：

の等高線プロット：

関数の特性 (11)

オイラーの完全ベータ関数の実領域：

複素領域：

置換対称性：

オイラーのベータ関数には鏡特性がある：

完全ベータ関数は解析関数ではない：

しかし，有理型ではある：

その特異点と不連続点は非負の整数に限られる：

不完全ベータ関数は正の整数についてのの解析関数である：

そのような関数はどれも，特異点も不連続点も持たない：

は，のその他の値については解析的でも有理型でもない：

は非増加でも非減少でもない：

は正の奇数については単射であるが，正の偶数についてはそうではない：

は正の奇数については全射であるが，正の偶数についてはそうではない：

は正の偶数については非負であるが奇数については不定である：

は正の偶数について凸である：

TraditionalFormによる表示：

微分 (2)

ベータ関数の一次導関数：

ベータ関数の高次導関数：

について高次導関数をプロットする：

級数展開 (5)

極におけるベータ関数の級数展開：

の周りのベータ関数の級数展開の初項：

ベータ関数の漸近展開：

任意の点における不完全ガンマ関数の級数展開：

Betaはベキ級数に適用できる：

関数の恒等式と簡約 (4)

一般化された不完全ベータ関数は不完全ベータ関数と関連している：

FullSimplifyを使ってベータ関数を簡約する：

再帰関係：

積の関係：

関数表現 (6)

Gamma関数による主定義：

一般化された不完全ベータ関数を不完全ベータ関数に簡約する：

オイラーのベータ関数の積分表現：

不完全ベータ関数の積分表現：

BetaはMeijerGによって表すことができる：

BetaはDifferentialRootとして表すことができる：

一般化と拡張 (6)

オイラーのベータ関数 (2)

特別な場合は記号的に評価する：

Betaは要素単位でリストに縫い込まれる：

不完全ベータ関数 (2)

整数次と半整数次において記号的に評価する：

任意の点における級数展開：

一般化された不完全ベータ関数 (2)

一般化された不完全ベータ関数は不完全ベータ関数に関連している：

記号的に評価する：

アプリケーション (5)

正の実数についてベータ関数をプロットする：

複素平面でBetaの絶対値をプロットする：

d次元の超球における点のすべてのペアの平均距離sの分布：

低次元の分布は初等関数で表すことができる：

分布をプロットする：

確率変数のベータ分布のPDF：

PDFをさまざまなパラメータでプロットする：

平均を計算する：

（容量）を超える同時サービス要求が行われる確率は，Gamma関数とBeta関数で表すことができる：

特性と関係 (7)

オイラーのベータ関数をオイラーのガンマ関数の割合として表す：

一般化された不完全ベータ関数を不完全ベータ関数に還元する：

FullSimplifyを使ってベータ関数を簡約する：

超越方程式の根を数値的に求める：

Betaを含む式の総和を求める：

母関数：

超幾何関数の特殊ケースとして得る：

BetaはDifferentialRootとして表すことができる：

考えられる問題 (4)

大きい引数は，明示的に計算するのには小さすぎる結果を与えることがある：

機械数の入力が高精度の結果を与えることがある：

アルゴリズムを使って生成した結果では，ベータ関数ではなくガンマ関数や超幾何関数が使われることがよくある：

微分方程式は不完全ベータ関数によって満足される：

一般に，FullSimplifyではベータ関数は生成されない：

おもしろい例題 (2)

複素平面上でBetaをネストさせる：

成分がベータ関数の逆数であるベータ行列を定義する：

ベータ行列の行列式はである：

ベータ行列は対称正定値で，そのコスキー(Cholesky)分解はの形の成分を持つ：

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