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Beta

Beta[a,b]

给出欧拉贝塔函数 .

Beta[z,a,b]

给出不完全贝塔函数 .

更多信息

Beta 是一个数学函数，适宜于符号和数值运算.
$TemplateBox[{a, b}, Beta]=TemplateBox[{a}, Gamma]TemplateBox[{b}, Gamma]/TemplateBox[{{a, +, b}}, Gamma]=int_0^1t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt$ .
$TemplateBox[{z, a, b}, Beta3]=int_0^zt^(a-1)(1-t)^(b-1)dt$ .
Beta[z,a,b] 在复平面上有分支切割，从到 .
Beta[z₀,z₁,a,b] 给出广义不完全贝塔函数 .
需注意不完全 Beta 函数的参数排列有别于不完全 Gamma 函数的参数排列.
对于一些特殊的参数，Beta 自动运算出精确值.
Beta 可求任意数值精度的值.
Beta 自动逐项作用于列表的各个元素.
在 TraditionalForm 中，用 \[CapitalBeta]输出 Beta 函数.
Beta 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (6)

精确值：

数值运算：

在实数的子集上绘制：

在实数的子集上绘制不完全 beta 函数：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

范围 (42)

数值运算 (8)

进行数值运算：

在特殊情况下以符号方式进行运算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

对较大的自变量求值：

对复变量求值：

在高精度条件下高效计算 Beta：

使用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的保证区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 MatrixFunction 函数：

特殊值 (4)

无穷处的值：

求的零点：

符号式计算整数和半整数阶的不完全贝塔函数：

符号式计算广义不完全贝塔函数：

可视化 (2)

绘制：

的等高线图：

函数的属性 (11)

完全欧拉贝塔函数的实定义域：

复定义域：

置换对称性：

欧拉贝塔函数具有镜像属性：

完全 beta 函数不是解析函数：

但是，它是亚纯函数：

它的奇点和断点仅限于非正整数：

对于正整数，不完全 beta 函数是的解析函数：

因此，任何这样的函数都没有奇点或断点：

取其他值时，既不是解析函数，也不是亚纯函数：

既不是非递增，也不是非递减：

如果为正的奇数，是单射函数，如果为正的偶数，则不是单射函数：

如果为正的奇数，是满射函数，如果为正的偶数，则不是满射函数：

如果为正的偶数，非负，如果为奇数，则不确定：

如果为正的偶数，是凸函数：

TraditionalForm 格式：

微分 (2)

贝塔函数的一阶导数：

贝塔函数的高阶导数：

绘制时的高阶导数：

级数展开式 (5)

贝塔函数在极点处的级数展开式：

贝塔函数在处的级数展开式的第一项：

贝塔函数的渐近展开式：

不完全贝塔函数在任意点的级数展开式：

Beta 可被应用于幂级数：

函数恒等式和化简 (4)

广义不完全贝塔函数与不完全贝塔函数相关：

用 FullSimplify 化简贝塔函数：

递推关系式:

乘积关系式：

函数表示 (6)

用 Gamma 函数表示主定义式：

将广义不完全贝塔函数简化为不完全贝塔函数：

欧拉贝塔函数的积分表示：

不完全贝塔函数的积分表示：

可用 MeijerG 表示 Beta 函数：

可用 DifferentialRoot 表示 Beta 函数：

推广和延伸 (6)

欧拉贝塔函数 (2)

特例中的符号运算：

Beta 按元素线性作用于列表：

不完全贝塔函数 (2)

整数阶和半整数阶的符号运算：

任意点处的级数展开：

广义不完全贝塔函数 (2)

广义不完全贝塔函数与不完全贝塔函数相关：

符号式计算：

应用 (5)

绘制正实数的贝塔函数：

Beta 在复平面的绝对值图：

全体偶点在一个 d 维超球面的平均间隔为 s 的分布：

低维分布可用初等函数表示：

绘制分布图：

随机变量呈贝塔分布的概率密度函数：

绘制不同参量的概率密度函数：

计算平均值：

同时提出的服务请求超过（容量）的概率可用 Gamma 和 Beta 函数表示：

属性和关系 (7)

用欧拉伽玛函数之比表示欧拉贝塔函数：

将广义不完全贝塔函数简化为不完全贝塔函数：

用 FullSimplify 简化贝塔函数：

求超越方程的数值解：

含有 Beta 的求和表达式：

母函数：

由超几何函数特例得到贝塔函数：

Beta 可被表示为 DifferentialRoot：

可能存在的问题 (4)

较大的自变量得到的解太小，以至于不能被明确地计算求出：

机器数的输入能得到高精度的解：

按算法生成的解通常用伽玛和超几何函数表示，而不用贝塔函数表示：

一个不完全贝塔函数的和满足这个微分方程：

FullSimplify 一般不生成贝塔函数：

巧妙范例 (2)

在复平面上嵌套 Beta：

定义贝塔矩阵，其项为贝塔函数的倒数：

贝塔矩阵的行列式为：

贝塔矩阵是对称正定矩阵，其乔里斯基分解的项形式为：

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