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DFixedPoints

DFixedPoints[eqn,x[t],t]

微分方程式の固定点を与える．

DFixedPoints[{eqn₁,eqn₂,…},{x₁[t],x₂[t],…},t]

微分方程式系の固定点を与える．

詳細とオプション

固定点は，微分方程式の停留点あるいは平衡点としても知られている．
DFixedPointsは，通常，生態学，経済学あるいは技術モデリングで頻繁に発生する，非線形連続時間系のすべての固定点を見付けるために使われる．これらの固定点における局所的な動作はDStabilityConditionsで解析することができる．
微分方程式系については，のときかつそのときに限って点は固定点である．実際，で初期化するとに留まるので，初期値は固定点のままである．
DFixedPointsは{{,,…},…}の形のリストを返す．ここで，{,,…}は系の固定点である．
DFixedPointsは，線形と非線形の常微分方程式に使うことができる．
次は，使用可能なオプションである．
Assumptions $Assumptions パラメータについての仮定

例題

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例 (6)

方程式の固定点を求める：

方程式の固定点を求める：

方程式の固定点と安定性の条件を求める：

a の異なる値についてのいくつかの解をプロットする：

二次元の系の固定点と安定性解析：

系が安定するパラメータ領域をプロットする：

非線形微分方程式の安定性解析：

StreamPlotを使って安定性を示す：

定数係数を持つ線形系の安定性：

StreamPlotを使って安定性を可視化する：

スコープ (19)

線形方程式 (5)

方程式の固定点を求める：

一次線形非同次方程式：

のときの不安定解をプロットする：

のときの安定解をプロットする：

二次線形方程式：

三次線形方程式：

より高次の非同次常微分方程式：

固定点を初期値として使う条件で常微分方程式を解く：

非線形方程式 (2)

一次非線形方程式の安定性：

初期値についての解をプロットする：

StreamPlotを使って点における安定性を示す：

二次非線形常微分方程式について考える：

DSolveは，この方程式を解くことができない：

DFixedPointsを使って方程式の固定点を求める：

方程式を一次常微分方程式系に変換する：

平面で系の軌跡をプロットする：

線形系 (9)

非連立方程式の安定した線形系：

系の軌跡：

非連立方程式の不安定な線形系：

系の軌跡：

定数係数を持つ不安定な系：

系の軌跡：

定数係数を持つ安定した系：

系の軌跡：

非同次の不安定な系：

系の軌跡：

非同次の安定した系：

解をプロットする：

記号係数を持つ線形系：

4つの線形常微分方程式の系：

解をプロットする：

ランダムな定数係数を持つ10×10線形系：

非線形系 (3)

非線形の一次の系：

点の安定性を解析する：

StreamPlotを使って安定性を可視化する：

周期的な固定点を持つ非線形系：

点の安定性を解析する：

原点に不安定な固定点を持つ非線形系：

オプション (1)

Assumptions (1)

2つの非線形方程式系は，無数の周期的固定点を持つ：

Assumptionsを使って従属変数の範囲を指定する：

アプリケーション (11)

物理学 (5)

減衰があるバネ・質量系の安定性解析：

仮定を使って安定性の条件を簡約する：

バネ・質量系の方程式を解く：

パラメータの与えられた値についての解をプロットする：

電気回路方程式の安定性解析：

電気回路方程式を解く：

パラメータの与えられた値についての解をプロットする：

減衰振子方程式の安定性解析：

系の相図をプロットする：

初期条件 , についての解をプロットする：

Lorenz方程式の安定した系：

StreamPlot3Dを使ってLorenzアトラクタを可視化する：

Lorenz方程式の不安定な系：

系を解いて解をプロットする：

生物学 (3)

捕食者被食者モデル（Lotka–Volterra方程式）の安定性解析：

系の相図をプロットする：

初期条件 , で系を解く：

解をプロットする：

Rosenzweig–MacArthurの捕食者被食者モデル：

ケモスタットモデルは，微生物が非生物資源とともに成長する生物学系を表す：

固定点を求める：

およびのときのモデルの安定性を解析する：

化学 (1)

ブラッセレータは，自己触媒反応のタイプについての理論モデルである．次は，ブラッセレータモデルの反応速度式である：

系の固定点を求める：

b<1+a²ならこの点は安定している：

b>1+a²なら，この点は不安定である：

制御系 (2)

オイラーの運動方程式から始めて衛星の姿勢力学を解析する：

主慣性モーメント, , のオイラーの方程式：

, , の固定値について方程式の固定点を求める：

固定点を作用点として選択する：

状態空間モデルを構築する：

衛星の姿勢は，妨害されると調整できない：

モデルの可制御性を検証する：

ラグランジュ(Lagrangian)を使って倒立振子について調べる：

の位置：

速度：

台車と振子の運動エネルギー：

振子の位置エネルギー：

ラグランジュ：

一般化された力：

運動方程式：

状態空間モデル：

非正の固有値で系は不安定になる：

特性と関係 (8)

DFixedPointsは，微分方程式の固定点を返す：

DFixedPointsを使って微分方程式のすべての固定点を求める：

DStabilityConditionsを使って特定の固定点における安定性を解析する：

DFixedPointsを使って非線形常微分方程式のすべての固定点を求める：

Solveを使って固定点を求める：

n 次微分方程式の固定点は，n 次元ベクトルである：

n 個の一次微分方程式の系の固定点は，n 次元ベクトルである：

2つの常微分方程式の系の固定点を求める：

固定点を初期条件として使ってDSolveValueで系を解く：

DSolveValueを使って与えられた初期条件で系を解く：

解をプロットする：

非線形常微分方程式の固定点を解析する：

NDSolveを使って常微分方程式を解く：

解をプロットする：

2つの非線形常微分方程式の系の固定点を求める：

系のヤコビ行列を計算する：

各固定点について，ヤコビ行列の固有値を計算する：

この系は，すべての固有値が負の実部を持つなら局所的に安定している：

DStabilityConditionsを使って点の安定性をチェックする：

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