DStabilityConditions

DStabilityConditions[eqn,x[t],t]

给出微分方程的不动点和稳定性条件.

DStabilityConditions[{eqn1,eqn2,…},{x1[t],x2[t],…},t]

给出微分方程组的不动点和稳定性条件.

DStabilityConditions[{eqn1,eqn2,…},{x1[t],x2[t],…},t,{pnt1,pnt2,…}]

给出已知不动点的稳定性条件.

更多信息和选项

  • 稳定性又称为渐近稳定性，不动点又称为平衡点或驻点.
  • DStabilityConditions 通常用于定性分析不动点附近的长期行为。如果系统稳定，则只要足够接近固定点，解就会收敛到不动点.
  • 对于方程组 ，当且仅当 时，点 为不动点. 实际上，初始值 保持不变；如果在 处初始化，则就会保持在 处.
  • 当且仅当 且 ，对于足够小的 ，TemplateBox[{{x, (, t, )}, t, infty}, Limit2Arg]=x^* 成立，不动点 是渐近稳定的.
  • DStabilityConditions 返回形如 {{{,,…},cond},…} 的列表，其中 {,,…} 是不动点.
  • DStabilityConditions 给出了不动点局部稳定的充分条件. 对于线性系统，这些条件也是全局稳定的条件.
  • DStabilityConditions 适用于线性和非线性常微分方程.
  • 可以提供以下选项：
  • Assumptions $Assumptions关于参数的假设

范例

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基本范例  (7)

求方程 的不动点，并确定其稳定性：

求方程 的不动点，并确定其稳定性：

求方程 的不动点和稳定条件：

绘制对于不同 a 值的几个解：

二维系统的稳定性分析：

绘制系统稳定的参数区域：

非线性微分方程的稳定性分析：

使用 StreamPlot 来展示稳定性：

具有常数系数的线性系统的稳定性：

使用 StreamPlot 可视化稳定性：

求非线性方程的不动点：

研究第一个点的稳定性：

研究第二个点的稳定性：

范围  (21)

线性方程  (5)

对于方程 ，求不动点并确定其稳定性：

一阶线性非齐次方程：

绘制 的不稳定解：

绘制 的稳定解：

二阶线性方程：

绘制参数 和 的稳定区域：

三阶线性方程：

绘制稳定区域：

高阶非齐次常微分方程（ODE）：

使用不动点的坐标作为初始值求解 ODE：

非线性方程  (2)

一阶非线性方程的稳定性：

绘制初始值 的解：

使用 StreamPlot 展示 时的稳定性：

考虑二阶非线性 ODE：

DSolve 无法求解该方程：

使用 DStabilityConditions 分析方程的稳定性：

将方程转换为一阶 ODE 系统：

在 平面绘制系统的轨迹：

线性系统  (10)

稳定的线性非耦合方程组：

系统轨迹：

不稳定的线性非耦合方程组：

系统轨迹：

具有常数系数的不稳定系统：

具有常数系数的稳定系统：

具有虚数特征值的一阶系统：

使用 StreamPlot 可视化稳定性：

非齐次不稳定系统：

非齐次稳定系统：

绘制解的图形：

具有符号系数的线性系统：

使用 Assumptions 来简化稳定性条件：

由四个线性常微分方程组成的系统：

绘制解的图形：

分析具有随机常数系数的 10×10 线性系统的稳定性：

非线性系统  (4)

非线性一阶系统：

使用 StreamPlot 来可视化稳定性：

具有周期不动点的非线性系统：

在原点处有不稳定不动点的非线性系统：

由三个 ODE 组成的非线性系统：

化简结果：

选项  (2)

Assumptions  (2)

在没有 Assumptions 的情况下，稳定性参数有以下条件：

使用 Assumptions 通常可以得到简化的条件：

由两个非线性方程组成的系统具有无数个周期不动点：

使用 Assumptions 来指定因变量的范围：

应用  (11)

物理  (5)

对带阻尼的弹簧质量系统进行稳定性分析：

利用假设简化稳定性条件：

求解弹簧质量系统方程：

绘制给定参数值时解的图形：

对电路方程做稳定性分析：

求解电路方程：

绘制给定参数值时解的图形：

阻尼摆方程的稳定性分析：

绘制系统的相图：

绘制初始条件为 , 时解的图形：

稳定的洛伦兹方程组：

使用 StreamPlot3D 可视化洛伦兹吸引子：

不稳定的洛伦兹方程组：

求解方程组并绘制解的图形：

生物学和生态学  (3)

捕食者-猎物模型的稳定性分析（Lotka–Volterra 方程）：

绘制系统的相图：

求解初始条件为 、 的系统：

绘制解的图形：

罗森茲威格-麦克阿瑟（Rosenzweig-MacArthur ）捕食者-猎物模型：

恒化器（chemostat）模型代表微生物在非生物资源上生长的生物系统：

分析 和 时模型的稳定性：

化学  (1)

Brusselator 是一种自催化反应的理论模型.

Brusselator 模型的速率方程为：

求系统的不动点：

如果 b<1+a2，则该点是稳定的：

如果 b>1+a2，则该点不稳定：

控制系统  (2)

从欧拉运动方程开始分析卫星的姿态动力学：

具有主惯性矩 , , 的欧拉方程：

对于 , , 的固定值，分析方程的稳定性：

选择不动点作为工作点：

构建状态空间模型：

卫星姿态如果受到干扰则不受控制：

验证模型的可控性：

使用拉格朗日法研究倒立摆：

的位置：

其速度：

小车和摆的动能：

摆的势能：

拉格朗日量：

广义的力：

运动方程：

状态空间模型：

非正特征值使其成为一个不稳定的系统：

属性和关系  (9)

DStabilityConditions 返回微分方程的不动点和稳定性条件：

使用 DFixedPoints 求微分方程的所有不动点：

分析特定固定点的稳定性：

使用 DFixedPoints 求非线性常微分方程的所有不动点：

使用 Solve 求不动点：

在第一个不动点附近线性化方程：

检查第一个不动点附近的稳定性：

在第二个不动点附近线性化方程：

检查第二个不动点附近的稳定性：

使用 DStabilityConditions 确定非线性方程的稳定性：

n 阶微分方程的不动点是 n 维向量：

由 n 个一阶微分方程组成的系统的不动点是 n 维向量：

分析由两个常微分方程组成的系统的稳定性：

使用 DSolveValue 求解系统，以不动点作为初始条件：

使用 DSolveValue 求解给定初始条件的系统：

绘制解的图形：

分析非线性常微分方程的稳定性：

使用 NDSolve 求解常微分方程：

绘制解的图形：

分析非线性常微分方程的稳定性：

使用第一个不动点作为初始条件，计算常微分方程的渐近解：

针对另一个初始条件计算常微分方程的渐近解：

求由两个非线性常微分方程组成的系统的不动点：

计算系统的雅可比矩阵：

计算每个不动点的雅可比矩阵的特征值：

如果所有特征值的实部均为负，则系统在不动点附近局部稳定：

使用 DStabilityConditions 检查点的稳定性：

可能存在的问题  (2)

有时稳定性的条件并不是最简单的：

通过进一步处理可以实现进一步简化：

DStabilityConditions 失败，因为给定的点不是不动点：

首先使用 DFixedPoints 找到方程的所有不动点：

巧妙范例  (2)

范德波尔振荡器是一个非保守的、具有非线性阻尼的振荡系统：

分析系统稳定性：

为参数 的不同值制作系统轨迹的动画：

FitzHugh–Nagumo 模型是松弛振荡器的一个例子：

如果外部刺激 s 超过某个阈值，系统将在变量 x 和 y 会恢复到其静止值之前，在相空间中表现出特征偏移.

可视化当参数 s 取不同值时的系统轨迹：

Wolfram Research (2024)，DStabilityConditions，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DStabilityConditions.html.

文本

Wolfram Research (2024)，DStabilityConditions，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DStabilityConditions.html.

CMS

Wolfram 语言. 2024. "DStabilityConditions." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DStabilityConditions.html.

APA

Wolfram 语言. (2024). DStabilityConditions. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DStabilityConditions.html 年

BibTeX

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