DiscreteLQRegulatorGains

DiscreteLQRegulatorGains[sspec,wts,τ]

给出离散时间状态反馈增益矩阵，其中，对于最小化权重为 wts 的成本函数的连续时间系统指定 sspec，采样周期为 τ.

DiscreteLQRegulatorGains[…,"prop"]

给出属性 "prop" 的值.

更多信息和选项

  • DiscreteLQRegulatorGains 亦称为离散线性二次调节器、离散线性二次成本等效调节器或离散线性二次仿真调节器.
  • DiscreteLQRegulatorGains 通常用于计算调节控制器或跟踪控制器的数字化实现.
  • 调节控制器旨在尽管有 干扰的情况下仍将系统保持在平衡状态. 典型范例包括将倒立摆保持在直立位置或保持飞机水平飞行.
  • 调节控制器由 的控制律给出，其中 是计算得到的增益矩阵.

    • 近似离散时间系统：

  • 连续时间成本函数由 给出.
  • 跟踪控制器旨在有扰动 干扰的情况下跟踪参考信号. 典型范例包括汽车的巡航控制系统或机器人的路径跟踪.
  • 跟踪控制器由形式为 的控制律给出，其中 是计算出的增强系统的增益矩阵，包括系统 sys 和 的动力.
  • 近似离散时间系统：
  • 连续时间成本函数由 给出，其中 为增强状态.
  • 增强状态的数量由 给出，其中 由 sys 的 SystemsModelOrder 给出、 由 yref 的阶给出、 由 yref 的信号数给出.
  • 权重矩阵的选择需要性能和控制工作量之间的平衡，通过迭代可以获取比较理想的设计. 它们的起始值可以是有项 TemplateBox[{{1, /, z}, i, 2}, Subsuperscript] 的对角矩阵，其中 zi 是相应的 xi 或 ui 的最大允许绝对值.
  • DiscreteLQRegulatorGains 使用连续时间成本函数的近似离散时间等效值计算离散时间控制器.
  • 离散时间近似成本函数是 sum_(k=0)^infty(x^^(k).phi.x^^(k)+TemplateBox[{{{u, _, f}, (, k, )}}, ConjugateTranspose].rho.u_f(k)+2 TemplateBox[{{{x, ^, ^}, (, k, )}}, ConjugateTranspose].psi.u_f(k))，具有以下项：
  • 状态权重矩阵
    输入权重矩阵
    交叉耦合权重矩阵
    状态向量 用于调节且 用于追踪
  • 权重 wts 可采用以下形式：
  • {q,r}没有交叉耦合的成本函数
    {q,r,p}含有交叉耦合矩阵 p 的成本函数
  • 系统规约 sspec 是系统 sys 与 uf、yt 和 yref 规约.
  • 系统 sys 可以 StateSpaceModel[{a,b,c,d}] 形式给出，其中 a, b, c 和 d 分别表示状态、输入、输出和连续时间系统中的馈通矩阵 .
  • 离散时间设计模型 dsys 为保持零阶的近似形式 ，有如下项：
  • 状态矩阵
    输入矩阵
  • 系统指定 sspec 可采用以下形式：
  • StateSpaceModel[…]线性控制输入和线性状态
    AffineStateSpaceModel[…]线性控制输入和非线性状态
    NonlinearStateSpaceModel[…]非线性控制输入和非线性状态
    SystemModel[…]一般系统模型
    <|…|>用 Association 给出的详细系统指定
  • 详细系统指定中可含有以下键：
  • "InputModel"sys任意一个模型
    "FeedbackInputs"All反馈输入 uf
    "TrackedOutputs"None跟踪输出 yt
    "TrackedSignal"Automaticyref 的动力
  • 反馈输入可采用以下形式：
  • {num1,…,numn}由 StateSpaceModel、AffineStateSpaceModel 和 NonlinearStateSpaceModel 使用的编号输入 numi
    {name1,…,namen}由 SystemModel 使用的编号输入 namei
    All使用所有输入
  • 对于非线性系统，如 AffineStateSpaceModel、NonlinearStateSpaceModel 和 SystemModel，系统将围绕其存储的工作点进行线性化.
  • DiscreteLQRegulatorGains[…,"Data"] 返回一个 SystemsModelControllerData 对象 cd，可通过 cd["prop"] 提取其他属性.
  • 可用 DiscreteLQRegulatorGains[…,"prop"] 直接给出 cd["prop"] 的值.
  • 属性 "prop" 可取的值包括：
  • "Design"控制器设计的类型
    "DesignModel"设计所用的模型
    "DiscreteTimeClosedLoopPoles""DiscreteTimeClosedLoopSystem" 的极点
    "DiscreteTimeClosedLoopSystem"dcsys
    {"DiscreteTimeClosedLoopSystem",cspec}是否合并离散时间闭环系统
    "DiscreteTimeControllerModel"dcm
    "DiscreteTimeDesignModel"近似离散时间模型 dsys
    "DiscreteTimeOpenLoopPoles"dsys 的极点
    "DiscreteTimeWeights"近似成本函数的权重 ϕ、ρ、π
    "FeedbackGains"增益矩阵 κ 或其等价物
    "DiscreteTimeFeedbackGainsModel"dgm or {dgm1,dgm2}
    "FeedbackInputs"用 sys 的 uf 作为反馈
    "InputModel"输入模型 sys
    "InputsCount"sys 的输出 y 的个数
    "OpenLoopPoles""DesignModel" 的极点
    "OutputsCount"sys 的输出 y 的个数
    "SamplingPeriod"采样 period τ
    "StatesCount"sys 的状态 x 的数量
    "TrackedOutputs"被跟踪的 sys 的输出 yt
  • cspec 的密钥包括：
  • "InputModel"csys 中的输入模型
    "Merge"是否合并 csys
    "ModelName"csys 的名称
  • 近似离散时间调节器布局图.
  • 近似离散时间跟踪器布局图.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

具有反馈输入 uf 和外生输入 ue 的系统的系统规范 sspec：

一组调节器权重和采样周期：

离散时间 LQ 调节器增益：

带有反馈输入 u 的非线性系统：

一组调节器权重和采样周期：

离散时间调节器增益：

具有要跟踪输出的离散时间系统：

一组权重和采样周期：

离散时间增益：

不稳定的系统：

一组调节器权重和采样周期：

控制器数据对象：

开环和离散时间闭环极点可以作为属性获得：

不稳定的开环极点位于 s 平面的右半部分：

稳定闭环极点位于 z 平面的单位圆内：

范围  (26)

基本用法  (7)

计算系统的离散时间状态反馈增益：

离散时间近似是稳定的：

离散时间闭环系统更加稳定：

不稳定系统的增益：

离散时间近似也不稳定：

离散时间闭环系统是稳定的：

不同采样周期情况下的增益：

离散时间近似：

离散时间闭环系统：

计算多状态系统的状态反馈增益：

结果的维度对应于输入的数量和系统的阶数：

计算多输入系统的增益：

反转反馈输入的权重：

更高的权重没有使范数更小：

进一步增大权重使信号大小更接近：

计算成本函数包含状态和反馈输入的交叉耦合的情况下的增益：

计算非线性系统的增益：

近似于线性的系统的控制器：

跟踪  (3)

设计一个离散时间跟踪控制器：

闭环系统跟踪参考信号 ：

跟踪多个输出：

闭环系统跟踪两个不同的参考信号：

计算控制器工作量：

控制器模型：

参考信号：

状态响应：

输出响应：

控制器输入是根据参考输入、输出和状态响应计算得出的：

控制器的力度：

属性  (11)

默认情况下，DiscreteLQRegulatorGains 返回离散时间反馈增益：

一般情况下，反馈在以下状态是仿射的：

其形式为 κ0+κ1.x，其中 κ0 和 κ1 为常数：

反馈增益的系统模型：

反馈增益的仿射系统模型：

离散时间闭环系统：

线性化闭环系统的极点：

增大状态的权重使系统更稳定：

增大反馈输入的权重会使系统更不稳定：

用于计算反馈增益的模型：

设计模型的极点：

用于计算反馈增益的离散时间近似模型：

近似离散时间模型的极点：

近似离散时间权重：

设计方法：

与输入模型相关的属性：

获取控制器数据对象：

所有可能的属性：

指定属性：

应用  (12)

机械系统  (5)

调节具有非线性弹簧的弹簧-质量-阻尼器系统的运动：

系统模型：

小车对干扰力 fe 的开环响应没有调节，需要约40秒才能稳定下来：

系统规范：

为控制器设计指定一组控制器权重和采样时间：

计算控制器：

获得闭环系统：

小车的运动受到调节，并在大约3秒内稳定下来：

控制器模型：

控制力度：

调节弹簧摆的摆动运动：

系统模型：

摆的运动不受调节：

设置系统规范：

为控制器设计指定一组控制权重和采样时间：

计算控制器：

获得离散时间闭环系统：

仅调节摆动运动 θ：

完全控制系统是不可能的：

控制器模型：

控制力度：

只有部分极点受控制器影响：

抑制旋转摆的振荡：

系统模型：

对扰动的开环响应是振荡的：

指定一组控制权重和采样时间：

计算离散时间 LQR：

获得闭环系统：

控制器减弱了振荡：

离散时间控制器模型：

评估控制力度：

保持球机器人直立：

系统模型：

如果没有控制器，机器人就会翻倒：

指定一组调节器权重和采样时间：

计算控制器：

获得离散时间闭环系统：

尽管初始状态受到干扰，机器人仍返回到直立位置：

获得离散时间控制器模型：

评估控制力度：

使用跟踪控制器让玩具火车停在车站：

火车模型：

火车机车位置 的位移将导致不受控制的振荡：

这是因为它的开环极点有轻微阻尼：

火车的路线用分段函数建模：

指定火车机车的位置作为跟踪输出：

指定一组控制权重和采样周期：

计算控制器：

获得闭环系统：

火车按照路线行驶并在 3 个站点停靠：

在路线上行驶期间机车和小车的速度：

获得离散时间控制器模型：

控制器输入：

评估控制力度：

航空航天系统  (3)

稳定飞机的俯仰：

飞机纵向动力学模型：

飞机的俯仰角 δ 对于阶跃输入是不稳定的：

这是因为 s 平面的原点处有一个极点，使其不稳定：

为离散时间 LQR 控制器设计指定一组控制权重和采样时间：

计算离散时间 LQR 控制器：

获得离散时间闭环系统：

离散时间闭环系统的极点位于单位圆内，使其稳定：

响应稳定：

获得离散时间控制器模型：

评估控制器的力度：

调节推进器出现故障的卫星的轨道：

卫星轨道动力学模型：

如果没有校正推进器输入，状态的扰动将导致卫星轨道偏离：

如果切向推进器发生故障，轨道是可控的，但如果径向推进器发生故障，则轨道不可控：

设置系统规范，仅使用切向推进器控制卫星：

指定一组控制权重和采样时间：

计算控制器：

获得闭环系统：

仅使用切向推进器来调节卫星的轨道：

获得离散时间控制器模型：

评估控制力度：

抑制加速火箭上的液体晃动干扰：

将液体晃动近似为摆动摆的火箭模型：

晃动使系统不稳定：

可控性矩阵不是满秩的，因为八个状态中只有六个是可控的：

确定不可控状态对的索引：

相应的状态：

通过删除第三对不可控状态得到可控模型：

一组控制权重和采样时间：

计算离散时间 LQR 控制器：

获得闭环系统：

晃动扰动被抑制：

控制器模型：

控制力度：

生物系统  (1)

调节人体内酒精浓度：

具有胃肠道和静脉输入的二室模型：

使用 StateSpaceModel 线性化系统：

如果不进行干预，身体需要 的时间来调节酒精浓度：

指定一组控制权重和采样时间：

计算调节器：

获得离散时间闭环系统：

酒精浓度调节较快：

获得离散时间控制器模型：

评估控制力度：

化学系统  (1)

控制分批补料反应器的生物质浓度：

反应器的非线性模型：

无调节系统对状态扰动的响应：

将系统规范设定为跟踪输出 ：

并指定一组控制权重和采样周期：

计算控制器：

获得离散时间闭环系统：

模拟系统，跟踪恒定的生物质浓度为 1.25：

获取控制器模型：

控制力度：

电气系统  (1)

提高永磁同步电机 (PMSM) 的抗扰能力：

MSM 模型：

需要大约 才能稳定阶跃输入干扰：

设置控制系统规范：

指定采样周期和一组控制权重，以实现最大 24 伏的控制力度：

计算控制器：

获得闭环系统：

闭环系统需要约 5 秒的时间来稳定阶跃输入干扰：

获得离散时间控制器模型：

控制力度在 ±24v 范围内：

船舶系统  (1)

控制潜艇的深度和俯仰：

潜艇模型：

如果没有控制器，潜艇的俯仰和深度对于以下状态的干扰是不稳定的：

将深度 和俯仰 （即输出 1 和 2）设置为跟踪输出：

指定一组控制权重和采样周期：

计算离散时间 LQR 控制器：

获得闭环系统：

潜艇跟踪的参考深度为 –10，俯仰角 为 0：

控制器模型：

控制器模型的输入：

控制力度：

属性和关系  (5)

DiscreteLQRegulatorGains 计算为仿真离散时间系统的增益：

连续时间模型的一组权重和采样周期：

仿真离散时间系统：

仿真系统的状态权重矩阵：

输入权重矩阵：

交叉耦合权重矩阵：

使用仿真系统和权重的离散 LQ 增益：

DiscreteLQRegulatorGains 给出相同的结果：

离散时间系统是采样数据系统的近似：

一组权重和采样周期的控制器数据：

近似离散时间闭环系统：

初始条件 的状态响应：

离散时间反馈定律：

初始条件 的采样数据系统方程：

采样数据系统的状态响应：

比较近似离散和采样数据响应：

减少采样周期可以更好地近似采样数据系统：

离散时间闭环系统和不同 的反馈增益：

初始条件 的状态响应：

采样数据系统的状态响应：

随着采样周期的缩短，系统响应之间的差异也会减小：

缩短采样周期可以更好地近似采样数据系统的控制力度：

上一示例中离散时间系统的状态响应：

同一示例中样本数据系统的状态响应：

控制器模型：

初始条件 的控制信号：

采样数据系统的控制力度：

随着采样周期的缩短，系统控制力度之间的差异也会减小：

缩短采样周期会导致闭环极点更接近单位圆，即更接近不稳定状态：

离散时间闭环系统：

随着采样周期的缩短，系统的稳定性降低：

可能存在的问题  (1)

不可能计算不稳定系统的优化调整器：

系统是不稳定的，因为不稳定的极点 2 也是不可控的：

Wolfram Research (2010)，DiscreteLQRegulatorGains，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLQRegulatorGains.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，DiscreteLQRegulatorGains，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLQRegulatorGains.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "DiscreteLQRegulatorGains." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLQRegulatorGains.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). DiscreteLQRegulatorGains. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLQRegulatorGains.html 年

BibTeX

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