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DrazinInverse

DrazinInverse[m]

正方行列 m の一般化された逆行列を求める．

詳細とオプション

正方行列 m のDrazin逆行列は，m の不変部分空間に基づく一般化された逆行列である．
Drazin逆行列は，Moore–Penrose逆行列が一般化された逆行列であるように，一般化された逆行列である．しかし，Drazin逆行列は不変部分空間を扱い，固有値問題，微分方程式および差分方程式の解等と関連しているのに対し， Moore–Penrose逆行列は最小二乗問題を扱い，フィッティング，特異値分解，近似等と関連がある．
DrazinInverse[m]はとして計算することができる．ただし，{t,c,n}はCoreNilpotentDecomposition[m]によって返されたリストである． »
Drazin逆行列はとの関係を満足する． »
行列のベキ零指標は零固有値に対応する最大ジョルダン(Jordan)ブロックのサイズとして定義される．Drazin逆行列は関係を満足する．ただし，は m のベキ零指標である． »
正則正方行列 m について，Drazin逆行列は標準的な逆行列に等しい．

例題

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例 (3)

行列のDrazin逆行列を計算する：

3×3行列のDrazin逆行列：

一般化された逆行列のいくつかの特性を検証する：

4×4行列のDrazin逆行列：

DrazinInverseの定義を確認する：

スコープ (10)

基本的な用法 (6)

機械精度行列のDrazin逆行列：

複素行列のDrazin逆行列：

厳密行列のDrazin逆行列：

任意精度行列のDrazin逆行列：

記号行列のDrazin逆行列：

大きい機械精度行列の反転は効率的である：

特殊行列 (4)

疎な行列のDrazin逆行列は正規行列として返される：

構造化行列のDrazin逆行列：

IdentityMatrixはそれ自体のDrazin逆行列である：

ヒルベルト(Hilbert)行列のDrazin逆行列：

アプリケーション (3)

特異係数を持つ行列微分方程式 , を解く：

とはどちらも特異なので，この方程式は標準形にはできない：

解はである．ただし，はを，はを解く：

DSolveValueが与える結果と比較する：

特異係数行列を持つ行列差分方程式の一般解を求める：

行列は特異行列である：

解はである．ただし，は任意のベクトルである：

解を検証する：

グラフの事実上の抵抗行列を計算する：

事実上のグラフ抵抗を計算する：

特性と関係 (8)

DrazinInverseは可逆行列についてはInverseと同じである：

DrazinInverse[m]はとの関係を満足する：

必要とされる特性を検証する：

PseudoInverseとは異なり，必ずしもである訳ではない：

ムーア・ペンローズ(Moore–Penrose)方程式[詳細]を満足する必要もない：

DrazinInverseは，行列随伴のもとでは可逆である，すなわち $(a.b.TemplateBox[{a}, Inverse])^D=a.b^D.TemplateBox[{a}, Inverse]$ ：

DrazinInverseはCoreNilpotentDecompositionで計算できる：

等式 $m^D=t.(TemplateBox[{c}, Inverse] 0; 0 0).TemplateBox[{t}, Inverse]$ を確かめる：

DrazinInverse[m]は，対角行列 m について非零の要素が反転された対角行列である：

JordanDecomposition[m]で与えられたジョルダン行列について考える：

DrazinInverseは対角要素が0のブロックを0にマップし，他のブロックをその逆数にマップする：

さらに， $m^D=s.j^D.TemplateBox[{s}, Inverse]$ である：

正方行列の指標を計算する関数を定義する：

行列の指標を計算する：

DrazinInverse[m]はという関係を満足する．ただし，k は m の指標である：

PseudoInverseはDrazinInverseによって $TemplateBox[{{{{m, ^, {(, {(, {-, 1}, )}, )}}, =, {TemplateBox[{{(, m}}, ConjugateTranspose], ., m}}, )}, D}, Superscript].TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose]$ と表すことができる：

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