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EllipticPi

EllipticPi[n,m]

给出第三类完全椭圆积分 .

EllipticPi[n,ϕ,m]

给出不完全椭圆积分 .

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
对于实数、、和， $TemplateBox[{n, phi, m}, EllipticPi3]=int_0^phi(1-n sin^2(theta))^(-1)[1-m sin^2(theta)]^(-1/2)dtheta$ ，其中对于，理解为主值积分.
.
EllipticPi[n,m] 在和处有分支切割断点.
EllipticPi[n,ϕ,m] 在、和处有分支切割断点.
对于某些特定参数，EllipticPi 自动运算出精确值.
EllipticPi 可求任意数值精度的值.
EllipticPi 自动逐项作用于列表的各个元素.
EllipticPi 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (6)

数值计算：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在复数子集上绘制不完全椭圆积分：

原点处的级数展开式：

Infinity 处的级数展开式：

范围 (36)

数值计算 (6)

用数值法计算不完全椭圆积分：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复变量情况下的计算：

在高精度条件下高效计算 EllipticPi：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 EllipticPi 函数：

特殊值 (3)

自动生成简单精确值：

无穷处的值：

求方程的实根：

可视化 (4)

绘制第二个参数取不同值时的 EllipticPi：

绘制第一个参数取不同值时的 EllipticPi：

绘制参数取不同值时的不完全椭圆积分：

绘制的实部：

绘制的虚部：

函数的属性 (9)

EllipticPi 不是解析函数：

函数既有奇点，也有断点：

EllipticPi 不是亚纯函数：

的实定义域：

的实数值域：

转换为数值近似：

既不是非递增，也不是非递减：

是单射函数：

不是满射函数：

既不是非负，也不是非正：

既不凸，也不凹：

微分 (4)

关于第一个参数的一阶导数：

高阶导数：

绘制时的高阶导数：

关于第二个参数求导：

高阶导数：

绘制时的高阶导数：

积分 (3)

关于的不定积分：

定积分：

含有不完全椭圆积分的积分：

级数展开式 (3)

EllipticPi 在处的泰勒展开式：

绘制在处的前三个近似式：

EllipticPi 在分支点处的级数展开式：

绘制在处的前三个近似式：

EllipticPi 可被应用于幂级数：

函数表示 (4)

积分表示：

第三类不完全椭圆积分是不完全椭圆积分的部分特例：

EllipticPi 可被表示为 DifferentialRoot：

TraditionalForm 格式：

应用 (6)

计算椭圆积分：

定义、平面上的一个圆盘（例如探测器、路标）对点的立体角：

立体角的解析式：

数值化比较：

按水平距离和高度的函数绘制立体角：

这里计算的是相对论三维振子的经典作用量：

作用量可用 EllipticPi 表示（为简短起见，出现的根被简略了）：

保角变换图：

显示实部和虚部为常数的曲线的图形：

种类-1恒定平均曲率温特环状物 (Wente torus) 的参数化：

可视化 3 叶、5 叶、7 叶和 11 叶的环状体：

对 EllipticPi 的各种参数变化关系进行数值验证：

属性和关系 (4)

当且时，EllipticPi[n,m] 的值为实数：

根据假设展开特例：

下面显示 EllipticPi 函数的分支线：

计算超越方程的数值根：

可能存在的问题 (3)

在分支切割处的极限可能出现错误：

定义积分只在附加条件下收敛：

存在有不同的自变量习惯，而这会导致结果发生变化：

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