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FiniteFieldEmbedding

FiniteFieldEmbedding[ff₁,ff₂]

有限体 ff₂における有限体 ff₁の埋込みを与える．

FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]

e₁を e₂に写像する周辺体 e₂における周辺体 e₁の埋込みを表す．

詳細

有限体の埋込みはガロア(Galois)体の埋込みまたは有限体単射としても知られている．
有限体の埋込みは，ある有限体を他の有限体の部分体と識別するためによく使われる．
ℰ=FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]（ただし e₁∈ff₁かつ e₂∈ff₂）なら，は ff₁を ff₂に写像する．かつすべてのについて．
有限体 ff₁が ff₂と同じ標数でありその拡大次数が ff₂の拡大次数を割れるなら，ff₁は ff₂に埋め込める．
有限体の元 e₁∈ff₁と e₂∈ff₂は，両者が同じMinimalPolynomialを持ち e₁が ff₁を生成するときかつそのときに限って ff₁の ff₂への体の埋込みを定義する．2番目の条件は e₁の最小多項式の次数が上の ff₁の拡大次数と等しいときかつそのときに限って満足される．
埋込み ℰ=FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]について， ℰ["Projection"]は上のベクトル空間として扱われる，すべてのについてである e₂の周辺体 ff₂から e₁の周辺体 ff₁への線形写像を表す．

例題

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例 (1)

標数，拡大次数との有限体とを表す：

のへの埋込みを求める：

の元を埋込みを通して写像する：

結果をに射影する：

スコープ (3)

標数，拡大次数との有限体とを表す：

のへの埋込みを求める：

体の埋込みは加算と乗算を保持する：

ℰ["Projection"]は線形写像であるが，乗算は保持しない：

ℰ["Projection"]との合成はの恒等式である：

逆合成はの恒等式ではない：

生成元とその値を手動で選択することで体の埋込みを指定する：

a は，その最小多項式の次数がの拡大次数と位置するなら，を生成する：

における f の根を求める：

根の一つを選択する：

a を b に写像するのへの埋込みを表す：

埋込みが存在するためには，両方の体の標数が同じでなければならない：

最初の体の拡大次数は2番目の体の拡大次数の除数でなければならない：

アプリケーション (1)

有限体の代数拡大において多項式を因数分解する：

の元がある有限体にを埋込む：

埋込みを通して f を写像する：

結果を因数分解する：

Extensionオプションを使って最後の2つのステップを結合する：

特性と関係 (4)

体の埋込みは加算と乗算を保持する：

ℰ["Projection"]は線形写像であるが，乗算は保持しない：

ℰ["Projection"]との合成はの恒等式である：

逆合成はの恒等式ではない：

の自己同型を求める：

有限体の自己同型はすべてフロベニウス自己同型の関数乗である：

ここでは aut[a]==FrobeniusAutomorphism[a,4]：

埋込みによってをの部分体として特定できる：

FiniteFieldElementTraceを使ってを計算する：

FiniteFieldElementNormを使ってを計算する：

MinimalPolynomialを使って上のの元の最小多項式を求める：

Compositionを使って有限体の埋込みを構成する：

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