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FiniteFieldEmbedding

FiniteFieldEmbedding[ff₁,ff₂]

给出有限域 ff₁ 在有限域 ff₂ 中的嵌入.

FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]

表示 e₁ 的环境域在 e₂ 的环境域中的嵌入，它将 e₁ 映射到 e₂.

更多信息

有限域嵌入也称为伽罗瓦域嵌入或有限域单态.
有限域嵌入通常用于识别一个有限域与另一个有限域的子域.
如果 ℰ=FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]，其中 e₁∈ff₁ 且 e₂∈ff₂，则将 ff₁ 映射至 ff₂，并且对于所有，，且 .
如果有限域 ff₁ 与 ff₂ 具有相同的特征，并且它的扩张度是 ff₂ 的扩张度的除数，则有限域 ff₁ 可以嵌入到 ff₂ 中.
当且仅当它们具有相同的 MinimalPolynomial 并且 e₁ 生成 ff₁ 时，有限域元素 e₁∈ff₁ 和 e₂∈ff₂ 定义 ff₁ 在 ff₂ 中的域嵌入. 后一个条件当且仅当 e₁ 的最小多项式次数等于 ff₁ 在上的扩张度时成立.
对于嵌入 ℰ=FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]，ℰ["Projection"] 表示从 e₂ 的环境场 ff₂ 到 e₁ 的环境场 ff₁ 的线性映射，被视为上的向量空间，对于所有，使得 .

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

表示具有特征 17 和扩张度和的有限域和：

求在中的嵌入：

通过嵌入映射的一个元素：

将结果投影回：

范围 (3)

表示具有特征和扩张度和的有限域和：

求在中的嵌入：

域嵌入保留加法和乘法：

ℰ["Projection"] 是 -线性映射但不保留乘法：

ℰ["Projection"] 与的组合是上的恒等式：

反向组合不是上的恒等式：

通过手动选择生成器及其值来指定域嵌入：

如果 a 的最小多项式的次数等于的扩张度，则生成：

求 f 在中的根：

选择其中一个根：

表示在中的嵌入，将 a 映射到 b：

为使得嵌入存在，两个域需要具有相同的特征：

第一个域的扩张度需要是第二个域的扩张度的除数：

应用 (1)

在有限域的代数扩张中对多项式进行因式分解：

将嵌入到具有个元素的有限域中：

通过嵌入映射 f：

对结果进行因式分解：

使用 Extension 选项合并最后两个步骤：

属性和关系 (4)

域嵌入保留加法和乘法：

ℰ["Projection"] 是 -线性映射但不保留乘法：

ℰ["Projection"] 与的组合是上的恒等式：

反向组合不是上的恒等式：

求的自同构：

所有有限域自同构都是弗罗贝尼乌斯自同构的功能幂（Functional Power）：

这里 aut[a]==FrobeniusAutomorphism[a,4]：

嵌入允许用的子域识别：

使用 FiniteFieldElementTrace 计算：

使用 FiniteFieldElementNorm 计算：

使用 MinimalPolynomial 在上求的元素的最小多项式：

使用 Composition 组成有限域嵌入：

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