一般に，群は標準名で言及される：

それは，このより簡単な文法と同等である：

この他の使用可能な入力形は代替標準名で呼ばれる：

これは，群の英語名（常に文字列）である：

群によっては代替名がある：

名前の短縮文字列形式もある：

すべての群に短い表記形式がある：

32三次元結晶点群のデフォルト表記はシェーンフリース表記であるが，他の表記も可能である：

これらは結晶点群にのみ適用可能である：

群の二大特性はその位数と乗積表である：

乗積表は群を抽象群（つまり，同型写像に至るまで）として定義する．例えば，乗積表が対称であるときかつそのときに限りその群はアーベル群である：

群の元は乗積表中の位置によって抽象的に定義される：

これはその逆元である：

これによって，さまざまな部分群を形成するのがどの元であるかの識別が可能になる．例えば，4番目の元は他のすべての群の元と可換である：

元の可換性に関するより詳しい情報は群内のすべての交換子の群によって与えられる．交換子の部分群（導来部分群）が自明ではないので，この群はアーベル群ではない：

しかし，さらに交換することで自明群が得られる：

したがって，もとの群は可解である：

これは，各元にそれ自身を繰り返し掛けて得られた閉路である：

これはグラフとして自然に表現できる．単位元がハイライトしてある：

生成元と関係による提示：

群積は小さい円として表されており，その随伴ベキを示すのにも使われる：

これら2つの生成元（それぞれ位数4と2）で，次のケイリーグラフが得られる：

生成元に名前を付けることで，群のすべての元を言葉で表すことができる：

置換リストの完全集合としての置換群表現：

あるいは，続けての計算に使える置換群として：

軌道が単一軌道なので，これは推移表現である：

しかし，固定群はどれも自明である：

したがって，これは乗積推移表現ではない：

置換表現の巡回構造によって，いわゆる巡回指数多項式が与えられる：

巡回群の行列表現：

与えられたものの群同型を得る：

どれも抽象群としての同じ特性を共有している：

それぞれの元のリストとして与えられた群の共役類：

類番号は共役類の数として定義される：

自己共役であるこれらの元は，群内の他のすべての元と可換となって，その群の中心を形成する：

クラインの四元群には1つのタイプの部分群しかない：

しかし，そのタイプが3回実現されている：

n≥5のとき，代替群 はその可換部分群と等しい：

そのような特性を持つ群は完全群と呼ばれる：

単純群はすべて完全群である：

"Tetrahedral"群の標準的な部分群：

これには自明ではない標準的な部分群もあるので，単純群ではない：

シロウ(Sylow)部分群はその位数が素数の最大ベキの部分群である：

標準的な部分群についての商を求めることで得られた可能な商群：

シューア乗積群：

自己同型群：

次は結晶群のみに適用されるさまざまな特性である：