通常情况下，群通过标准名字指代：

这等价于这个更简单的语法：

输入的其他可接受形式称为替换标准名称：

这是群的英文名，总是以字符串表示：

一些群有别的名称：

也存在名称的一个简短的字符串形式：

每个群都有一个简短的记号形式：

32 个三维晶体点群的默认记号是 Schoenflies 记号，但是其他记号也是可能的：

这些也可以应用于晶体群：

群的两个重要属性是阶数和乘法表：

乘法表把群定义为一个抽象群（即，至多同构）. 例如，当且仅当它的乘法表是对称的，该群是阿贝尔群：

群的元素通过乘法表中它们的位置抽象识别：

这些是它们的逆：

这使得形成各种子群的元素可以被使用记号识别. 例如，第四个元素与所有其他群元素交换：

群的可交换性的更多信息由群中所有交换子的群给出. 这个群不是阿贝尔群，因为交换子（或者导出）子群不是平凡的：

但是，进一步交换时，我们得到平凡群：

因此，原始群是可解的：

这些是通过每个元素与自身的重复相乘获得的圈（cycle）：

它们作为图的自然表示法. 突出显示恒等元素.

以生成元和关系表示：

群乘积以小规模圈的形式表示，也用于表示相关的幂：

在这两个生成器（阶数分别为4和2）下，我们有这个 Cayley 图：

为生成器命名，可以以单词给出群的所有元素：

以置换列表的完整集合表示的置换群：

或者以一个可用以进一步计算的置换群表示：

它是一个可迁表示，因为它有一个单独的轨道：

但是，任意稳定子都是平凡的：

因此，这不是多重可迁表示法：

置换表示的循环结构给出所谓的循环指数多项式：

这是循环群的矩阵表示：

获取给出群的同构群：

它们全都与抽象群享有相同的属性：

群的共轭类，以元素各自的列表给出：

类号码定义为共轭类的号码：

这些元素是自共轭的，因此与群中所有其他元素交换，形成该群的中心：

Klein 4 群只有一种类型的子群：

但是这种类型已经实现三次：

对于 n≥5，置换群 等于它们的换位子群：

具有这些属性的群被称为完美群：

所有简单群都是完美的：

"Tetrahedral" 群的正规子群：

它具有非平凡正规子群，因此它不是简单的：

Sylow 子群的阶数是质数的最大幂：

可能的商群，通过求关于正规子群的商获得：

舒尔乘子群：

自同构群：

这些是晶体群专用的各种属性：