FrenetSerretSystem

FrenetSerretSystem[{x1,…,xn},t]

给出参数曲线 xi[t] 的广义曲率和 Frenet–Serret 基.

FrenetSerretSystem[{x1,…,xn},t,chart]

将 xi 解释为指定坐标图中的坐标.

更多信息

  • FrenetSerretSystem 返回 {{k1,…,kn-1},{e1,…,en}}，其中 ki 是广义曲率，ei 是 Frenet–Serret 基向量.
  • 第一个基向量 e1 是曲线的单位切向量. 接下来的每一个向量是前一个向量的标准正交导数. 最后一个向量被选择来完成右手正交基.
  • 如果其中一个向量导数为零，则剩余的向量都取值为零.
  • 在二维和三维的常见名称为：
  • {{k1},{e1,e2}}有向曲率，切线和法线
    {{k1,k2},{e1,e2,e3}}曲率，挠率，切线，法线和副法线
  • 在 FrenetSerretSystem[x,t] 中，如果 x 为张量表达式，FrenetSerretSystem 给出参数曲线{t,x} 的曲率.
  • 如果指定了图表，基向量 ei 用与其关联的正交基表示.
  • 在 FrenetSerretSystem 第三个参数中的向量图可以用三元组 {coordsys,metric,dim} 指定，这与 CoordinateChartData 的第一个参数的方式相同. 可以使用忽略 dim 的缩写形式.

范例

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基本范例  (2)

二维圆环的曲率、切线和法线：

在柱坐标系中表示的螺旋线的曲率、挠率和相关联的基：

范围  (6)

直线是退化的，因此基用零向量填充：

限制在一个平面上的螺旋形的曲率、挠率和相关联的基：

构建抛物线 的单位法线和切线：

指定公制、坐标系和参数的 Frenet–Serret 系统：

具有非零切线、法线、副法线和三角法线的曲线：

FrenetSerretSystem 作用于曲面空间：

应用  (3)

通过检查两条空间曲线的副法线是否相等，确定它们是否相交于一个平面：

欧几里德空间中的两条曲线，当且仅当它们的曲率作为弧长函数相等时，可以通过刚体运动被覆盖：

由于参数化，曲线看上去具有不同的曲率：

然而，通过用弧长的形式重新表示曲率，可以看出曲线通过刚体运动相关：

构造一个密切圆，这是在一个点上与曲线最逼近的圆：

密切圆的半径为曲率的倒数：

圆心位于该曲线在接触点的法线上：

绘制具有两个密切圆和接触点的曲线：

属性和关系  (7)

在维度 上，第一个 曲率总是非负的，但最后一个可以为负：

在二维上，曲率是有向的：

在维数为三或更高时，ArcCurvature 是第一个广义曲率：

在维数为二时，ArcCurvature 是单广义曲率的绝对值：

在二维上，法线总是相对于切线逆时针旋转：

当曲线嵌入于三维空间时，法线可以在任一方向旋转：

当曲率经过零点时，方向发生变化：

法线和副法线在相交处未定义，然后方向逆转：

在欧几里德空间中，如果仅有最后一个曲率是相同的0，则曲线位于超平面上：

该超平面与最后的基向量垂直，在这种情况下是副法线：

绘制包含曲线的平面，用曲线的一个点和该点的切线和法线：

曲线、超平面和副法线：

对于嵌入非平面表面的曲线，除切线外的其他基向量需要与曲面保持一个恒定的角度：

互动范例  (1)

具有单位切线和法线的函数图形如下所示. 点击一个点，查看在该点的单位和切线：

巧妙范例  (1)

三叶结，带有切线、法线和副法线沿曲线的动画：

Wolfram Research (2014)，FrenetSerretSystem，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FrenetSerretSystem.html.

文本

Wolfram Research (2014)，FrenetSerretSystem，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FrenetSerretSystem.html.

CMS

Wolfram 语言. 2014. "FrenetSerretSystem." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FrenetSerretSystem.html.

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Wolfram 语言. (2014). FrenetSerretSystem. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FrenetSerretSystem.html 年

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