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FunctionMonotonicity

FunctionMonotonicity[f,x]

実数上の変数 x を持つ関数 f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[f,x,dom]

x が領域 dom に制限されるときの f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[{f,cons},x,dom]

x が制約条件 cons によって制限されるときの f の単調性を与える．

詳細とオプション

単調性は，増加，減少，非減少，非増加，狭義増加，狭義減少としても知られている．
デフォルトで，次の定義が使われる．

		+1	非減少，つまりすべてのについて
		0	定数，つまりすべてのについて
		-1	非増加，つまりすべてのについて
		Indeterminate	非減少でも非増加でもない

定数関数は非減少かつ非増加である．
StrictInequalitiesTrueと設定すると，次の定義が使われる．
+1 増加，つまりすべてのについて

-1 減少，つまりすべてのについて

Indeterminate 増加でも減少でもない
dom の可能な値には，Reals，Integers，PositiveReals，PositiveIntegers等がある．デフォルトはRealsである．
関数 f は，制約条件 cons を満たす領域 dom 内のすべての x について実数値でなければならない．
cons は，等式，不等式，それらの論理結合を含むことができる．
次は，使用可能なオプションである．

	Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
	GenerateConditions	True	パラメータについての条件を生成するかどうか
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	速度または品質を優先するかどうか
	StrictInequalities	True	狭義単調性を要求するかどうか

次は，GenerateConditionsの使用可能な設定である．
Automatic 一般的ではない条件のみ

True すべての条件

False 条件なし

None 条件が必要な場合は未評価で返す
PerformanceGoalの使用可能な設定は"Speed"と"Quality"である．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (3)

関数の単調性を求める：

変数が制約によって制限された関数の単調性を求める：

整数上の関数の単調性を求める：

スコープ (5)

制限のない実数上の単調性：

実数値ではない関数はIndeterminate単調性を有する：

この関数は実数値で正のについて増加する：

変数に制約のある単調性：

関数の狭義単調性：

は非減少であるが，狭義増加ではない．は狭義増加である：

記号パラメータを持つ関数：

オプション (5)

Assumptions (1)

FunctionMonotonicityはここで条件付きの答を与える：

の値についての単調性をチェックする：

GenerateConditions (2)

デフォルトで，FunctionMonotonicityは記号パラメータについての条件を生成することがある：

GenerateConditionsNoneのとき，FunctionMonotonicityは条件付きの答を返さず失敗する：

以下は条件的に有効な結果を条件を述べずに返す：

デフォルトで，すべての条件が報告される：

GenerateConditionsAutomaticとすると，一般に真である条件は報告されない：

PerformanceGoal (1)

PerformanceGoalを使って潜在的に高価な計算を避ける：

デフォルト設定は使用可能なすべてのテクニックを使って結果を出そうとする：

StrictInequalities (1)

デフォルトで，FunctionMonotonicityは非狭義単調性を計算する：

StrictInequalitiesTrueとすると，FunctionMonotonicityは狭義単調性を計算するようになる：

Ramp[x]+1は非減少だが狭義増加ではない．Ramp[x]+x は狭義増加である：

アプリケーション (19)

基本的な例 (5)

正のベキは正の実数についてすべて非減少である：

以下は，族全体が非減少であることを示している：

事実，族はすべて増加している：

負のベキは正の実数について非増加である：

以下は，族全体が減少であることを示している：

指数関数はのときは増加しのときは減少する：

三角関数は実数上で非単調である：

しかし，より狭い範囲では単調である：

は非減少であるが増加もしない：

組合せの例 (5)

単調性がの関数の「和」の単調性はである：

和は同じ単調性を有する：

非負非減少関数の積は非減少である：

その積もまた非減少である：

非減少関数の「組合せ」は非減少である：

その組合せもまた非減少である：

増加関数の「逆」関数は増加する：

逆もまた増加する：

区間上の非減少関数の値域はである：

比較のためにFunctionRangeを使って値域を計算する：

微積分 (4)

がで極限を持つことを証明する：

はについて非減少で上に有界である：

におけるの極限はの上限に等しい：

の収束を証明する：

数列の項は非負なので，部分和は増加である：

部分和は上に有界なので，級数は収束する：

Sumを使って級数の総和を計算する：

が非負ならはの非減少関数である：

微分可能な関数を増加関数と減少関数の和として書く：

関数を定数で調整する必要があるかどうかチェックする：

との単調性を調べる：

確率 (3)

CDFは常に非減少である：

SurvivalFunctionは常に非増加である：

Quantileはにおいて常に非減少である：

方程式の求解と最適化 (2)

がおよびにおいて増加かつ連続ならはに厳密に1つの根を持つ：

Solveを使って根を求める：

が非減少関数のときのの最大値を計算する：

の最大値を計算する：

の最大値はでにおいて達する：

比較のために，最大値を直接計算する：

特性と関係 (2)

非減少関数の和と合成は非減少である：

非減少関数の導関数は非負である：

Dを使って導関数を計算する：

FunctionSignを使って導関数が非負であることを確認する：

関数と導関数をプロットする：

考えられる問題 (1)

関数が単調関数であるためにはあらゆるところで定義されなければならない：

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