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FunctionMonotonicity[f,x]

実数上の変数 x を持つ関数 f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[f,x,dom]

x が領域 dom に制限されるときの f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[{f,cons},x,dom]

x が制約条件 cons によって制限されるときの f の単調性を与える．

詳細とオプション
Details and Options Details and Options
例題  
例  
スコープ  
オプション  
Assumptions  
GenerateConditions  
PerformanceGoal  
StrictInequalities  
アプリケーション  
基本的な例  
組合せの例  
微積分  
確率  
方程式の求解と最適化  
特性と関係  
考えられる問題  
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引用書式

FunctionMonotonicity

FunctionMonotonicity[f,x]

実数上の変数 x を持つ関数 f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[f,x,dom]

x が領域 dom に制限されるときの f の単調性を求める．

FunctionMonotonicity[{f,cons},x,dom]

x が制約条件 cons によって制限されるときの f の単調性を与える．

詳細とオプション

  • 単調性は，増加，減少，非減少，非増加，狭義増加，狭義減少としても知られている．
  • デフォルトで，次の定義が使われる．
  • +1非減少，つまりすべての について
    0定数，つまりすべての について
    -1非増加，つまりすべての について
    Indeterminate非減少でも非増加でもない
  • 定数関数は非減少かつ非増加である．
  • StrictInequalitiesTrueと設定すると，次の定義が使われる．
  • +1増加，つまりすべての について
    -1減少，つまりすべての について
    Indeterminate増加でも減少でもない
  • dom の可能な値には，Reals，Integers，PositiveReals，PositiveIntegers等がある．デフォルトはRealsである．
  • 関数 f は，制約条件 cons を満たす領域 dom 内のすべての x について実数値でなければならない．
  • cons は，等式，不等式，それらの論理結合を含むことができる．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditions Trueパラメータについての条件を生成するかどうか
    PerformanceGoal $PerformanceGoal速度または品質を優先するかどうか
    StrictInequalities True狭義単調性を要求するかどうか
  • 次は，GenerateConditionsの使用可能な設定である．
  • Automatic一般的ではない条件のみ
    Trueすべての条件
    False条件なし
    None条件が必要な場合は未評価で返す
  • PerformanceGoalの使用可能な設定は"Speed"と"Quality"である．

例題

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例  (3)

関数の単調性を求める：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[E ^ x, x]

変数が制約によって制限された関数の単調性を求める：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{x ^ 2, x < 0}, x]

整数上の関数の単調性を求める：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Cos[2 Pi n] n, n, Integers]

スコープ  (5)

制限のない実数上の単調性：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Sin[x], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[2 ^ x, x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Sqrt[x ^ 2] - x, x]
Wolfram Language code: Plot[{Sin[x], 2 ^ x, Sqrt[x ^ 2] - x}, {x, -3, 3}]

実数値ではない関数はIndeterminate単調性を有する：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Log[x], x]

この関数は実数値で正の について増加する：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Log[x], x > 0}, x]

変数に制約のある単調性：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Sin[x], -Pi / 2 ≤ x ≤ Pi / 2}, x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Sqrt[x ^ 2] - x, x ≥ 0}, x]

関数の狭義単調性：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Floor[x], x, StrictInequalities -> True]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Floor[x] + x, x, StrictInequalities -> True]

TemplateBox[{x}, Floor]は非減少であるが，狭義増加ではない．TemplateBox[{x}, Floor]+x は狭義増加である：

Wolfram Language code: Plot[{Floor[x], Floor[x] + x}, {x, -10, 10}]

記号パラメータを持つ関数：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x ^ 3 + a x + b, x]

オプション  (5)

Assumptions  (1)

FunctionMonotonicityはここで条件付きの答を与える：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[a x + 1, x]

の値についての単調性をチェックする：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[a x + 1, x, Assumptions -> a < 0]

GenerateConditions  (2)

デフォルトで，FunctionMonotonicityは記号パラメータについての条件を生成することがある：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[E ^ (a x), x]

GenerateConditionsNoneのとき，FunctionMonotonicityは条件付きの答を返さず失敗する：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[E ^ (a x), x, GenerateConditions -> None]

以下は条件的に有効な結果を条件を述べずに返す：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[E ^ (a x), x, GenerateConditions -> False]

デフォルトで，すべての条件が報告される：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x / a ^ 2, x]

GenerateConditionsAutomaticとすると，一般に真である条件は報告されない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x / a ^ 2, x, GenerateConditions -> Automatic]

PerformanceGoal  (1)

PerformanceGoalを使って潜在的に高価な計算を避ける：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[a x ^ 5 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x, x, PerformanceGoal -> "Speed"]

デフォルト設定は使用可能なすべてのテクニックを使って結果を出そうとする：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[a x ^ 5 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x, x]

StrictInequalities  (1)

デフォルトで，FunctionMonotonicityは非狭義単調性を計算する：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[#, x]& /@ {Ramp[x] + 1, Ramp[x] + x}

StrictInequalitiesTrueとすると，FunctionMonotonicityは狭義単調性を計算するようになる：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[#, x, StrictInequalities -> True]& /@ {Ramp[x] + 1, Ramp[x] + x}

Ramp[x]+1は非減少だが狭義増加ではない．Ramp[x]+x は狭義増加である：

Wolfram Language code: Plot[{Ramp[x] + 1, Ramp[x] + x}, {x, -2, 2}]

アプリケーション  (19)

基本的な例  (5)

正のベキ は正の実数 TemplateBox[{}, PositiveReals]についてすべて非減少である：

Wolfram Language code: Table[FunctionMonotonicity[f, x, PositiveReals], {f, {x^1 / 3, Sqrt[x], x, x^2, x^3}}]
Wolfram Language code: Plot[{x^1 / 3, Sqrt[x], x, x^2, x^3}, {x, 0, 2}, Rule[...]]

以下は，族全体が非減少であることを示している：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x^α, x, PositiveReals, Assumptions -> α > 0]

事実，族はすべて増加している：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x^α, x, PositiveReals, Assumptions -> α > 0, StrictInequalities -> True]

負のベキ は正の実数 TemplateBox[{}, PositiveReals]について非増加である：

Wolfram Language code: Table[FunctionMonotonicity[f, x, PositiveReals], {f, {(1/x^1 / 3), (1/Sqrt[x]), (1/x), (1/x^2), (1/x^3)}}]
Wolfram Language code: Plot[{(1/x^1 / 3), (1/Sqrt[x]), (1/x), (1/x^2), (1/x^3)}, {x, 0, 2}, PlotLegends -> "Expressions"]

以下は，族全体が減少であることを示している：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x^α, x, PositiveReals, Assumptions -> α < 0, StrictInequalities -> True]

指数関数 は のときは増加しのときは減少する：

Wolfram Language code: {FunctionMonotonicity[a^x, x, Assumptions -> a > 1], FunctionMonotonicity[a^x, x, Assumptions -> 0 < a < 1]}
Wolfram Language code: Plot[{0.5^x, 1.5^x}, {x, -3, 3}]

三角関数は実数上で非単調である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Sin[x], x]
Wolfram Language code: Plot[Sin[x], {x, -3Pi, 3Pi}]

しかし，より狭い範囲では単調である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Sin[x], -Pi / 2 ≤ x ≤ Pi / 2}, x]
Wolfram Language code: Plot[Sin[x], {x, -Pi / 2, Pi / 2}]

TemplateBox[{x}, Ceiling]は非減少であるが増加もしない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Ceiling[x], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Ceiling[x], x, StrictInequalities -> True]
Wolfram Language code: Plot[Ceiling[x], {x, -5, 5}]

組合せの例  (5)

単調性が の関数の「和」の単調性は である：

Wolfram Language code: {f, g} = {Cos[x] - x, 5Erfc[x / 5]};
Wolfram Language code: {FunctionMonotonicity[f, x], FunctionMonotonicity[g, x]}

和は同じ単調性を有する：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[f + g, x]
Wolfram Language code: Plot[{f, g, f + g}, {x, -10, 10}, Rule[...]]

非負非減少関数の積は非減少である：

Wolfram Language code: {f, g} = {Floor[E ^ x], Erf[x] + 1};
Wolfram Language code: {FunctionMonotonicity[f, x], FunctionMonotonicity[g, x]}

その積もまた非減少である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[f g, x]
Wolfram Language code: Plot[{f, g, f g}, {x, -2, 2}, ...]

非減少関数の「組合せ」は非減少である：

Wolfram Language code: {f, g} = {Function[x, Sinh[x / 3]], Function[x, x + Sin[x]]};
Wolfram Language code: {FunctionMonotonicity[f[x], x], FunctionMonotonicity[g[x], x]}

その組合せもまた非減少である：

Wolfram Language code: {FunctionMonotonicity[f[g[x]], x], FunctionMonotonicity[g[f[x]], x]}
Wolfram Language code: Plot[{f[g[x]], g[f[x]]}, {x, -10, 10}, PlotLegends -> "Expressions"]

増加関数の「逆」関数は増加する：

Wolfram Language code: f = Function[x, ConditionalExpression[x ^ 3 - x ^ 2 + x, Element[x, Reals]]]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[f[x], x]

逆もまた増加する：

Wolfram Language code: g = InverseFunction[f]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[g[x], x]
Wolfram Language code: Plot[{f[x], g[x]}, {x, -2, 2}, Rule[...]]

区間上の非減少関数 の値域はである：

Wolfram Language code: f[x_] := Gamma[x] + Log[x ^ 2]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{f[x], 1 ≤ x ≤ 5}, x]
Wolfram Language code: {f[1], f[5]}

比較のためにFunctionRangeを使って値域を計算する：

Wolfram Language code: FunctionRange[{f[x], 1 ≤ x ≤ 5}, x, y]
Wolfram Language code: Plot[{f[x], f[1], f[5]}, {x, 1, 5}]

微積分  (4)

が で極限を持つことを証明する：

Wolfram Language code: f = ArcTan[x] + Sin[x] / (2x ^ 2);
Wolfram Language code: Plot[f, {x, 1 / 2, 30}, PlotRange -> All]

は について非減少で上に有界である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{f, x ≥ 2}, x]
Wolfram Language code: FunctionSign[{2 - f, x ≥ 2}, x]

における の極限は の上限に等しい：

Wolfram Language code: Limit[f, x -> Infinity]
Wolfram Language code: MaxValue[{f, x ≥ 2}, x]

の収束を証明する：

Wolfram Language code: f = 2 ^ -n - 3 ^ -n;
Wolfram Language code: Plot[f, {n, 1, 10}]

数列の項は非負なので，部分和は増加である：

Wolfram Language code: FunctionSign[{f, n ≥ 1}, n]
Wolfram Language code: s = Sum[f, {n, 1, k}]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{s, k ≥ 1}, k]

部分和は上に有界なので，級数は収束する：

Wolfram Language code: FunctionSign[{1 - s, k ≥ 1}, k]

Sumを使って級数の総和を計算する：

Wolfram Language code: Sum[f, {n, 1, Infinity}]

が非負なら は の非減少関数である：

Wolfram Language code: f = t ^ 2 Sin[5t] ^ 4;
Wolfram Language code: FunctionSign[f, t]
Wolfram Language code: Plot[f, {t, -5, 5}]
Wolfram Language code: g = Integrate[f, {t, 0, x}]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[g, x]
Wolfram Language code: Plot[g, {x, -5, 5}]

微分可能な関数を増加関数と減少関数の和として書く：

Wolfram Language code: f = x ^ 4 - 2x ^ 3 + x;
Wolfram Language code: finc = Integrate[Max[D[f, x], 0] + 1, x]//Together
Wolfram Language code: fdec = Integrate[Min[D[f, x], 0] - 1, x]//Together

関数を定数で調整する必要があるかどうかチェックする：

Wolfram Language code: f - (finc + fdec)//Simplify

との単調性を調べる：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[finc, x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[fdec, x]
Wolfram Language code: Plot[{f, finc, fdec}, {x, -1, 2}]

確率  (3)

CDFは常に非減少である：

Wolfram Language code: cdf = CDF[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[cdf, x]
Wolfram Language code: Plot[cdf, {x, -5, 5}]

SurvivalFunctionは常に非増加である：

Wolfram Language code: sf = SurvivalFunction[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[sf, x]
Wolfram Language code: Plot[sf, {x, -5, 5}]

Quantileはにおいて常に非減少である：

Wolfram Language code: qf = Quantile[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{qf, 0 < x < 1}, x]
Wolfram Language code: Plot[qf, {x, 0, 1}]

方程式の求解と最適化  (2)

がおよび において増加かつ連続なら はに厳密に1つの根を持つ：

Wolfram Language code: f[x_] := RiemannR[x ^ 2 + 1] - 2
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{f[x], 0 ≤ x ≤ 3}, x, StrictInequalities -> True, "Continuity" -> True]

Solveを使って根を求める：

Wolfram Language code: Solve[RiemannR[x ^ 2 + 1] - 2 == 0 && 0 ≤ x ≤ 3, x]
Wolfram Language code: Plot[f[x], {x, 0, 3}, Epilog -> {Red, Point[{x /. %[[1]], 0}]}]

が非減少関数のときの の最大値を計算する：

Wolfram Language code: f[t_] := Erf[t] g[x_, y_] := x ^ 3 - 5x y + y ^ 3 constraints = x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 1;
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[f[t], t]

の最大値を計算する：

Wolfram Language code: {mval, mpoint} = Maximize[{g[x, y], constraints}, {x, y}]//RootReduce

の最大値は でにおいて達する：

Wolfram Language code: {f[mval], mpoint}

比較のために，最大値を直接計算する：

Wolfram Language code: Maximize[{f[g[x, y]], constraints}, {x, y}]//RootReduce
Wolfram Language code: Show[{Plot3D[{f[g[x, y]], f[mval]}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ...], Graphics3D[{Red, PointSize[Large], Point[{x, y, f[mval]} /. mpoint]}]}]

特性と関係  (2)

非減少関数の和と合成は非減少である：

Wolfram Language code: f[x_] := ArcTan[x] g[x_] := 2 ^ x
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[#, x]& /@ {f[x], g[x], f[x] + g[x], f[g[x]], g[f[x]]}
Wolfram Language code: Plot[{f[x], g[x], f[x] + g[x], f[g[x]], g[f[x]]}, {x, -2, 2}]

非減少関数の導関数は非負である：

Wolfram Language code: f = x ^ 3 - x ^ 2Cos[x] + x Sin[x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[f, x]

Dを使って導関数を計算する：

Wolfram Language code: g = D[f, x]

FunctionSignを使って導関数が非負であることを確認する：

Wolfram Language code: FunctionSign[g, x]

関数と導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{f, g}, {x, -7, 7}]

考えられる問題  (1)

関数が単調関数であるためにはあらゆるところで定義されなければならない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[x + Exp[-1 / x ^ 2], x]
Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{x + Exp[-1 / x ^ 2], x ≠ 0}, x]
Wolfram Research (2020), FunctionMonotonicity, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionMonotonicity.html.

テキスト

Wolfram Research (2020), FunctionMonotonicity, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionMonotonicity.html.

CMS

Wolfram Language. 2020. "FunctionMonotonicity." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionMonotonicity.html.

APA

Wolfram Language. (2020). FunctionMonotonicity. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionMonotonicity.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_functionmonotonicity, author="Wolfram Research", title="{FunctionMonotonicity}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionMonotonicity.html}", note=[Accessed: 02-November-2026]}

BibLaTeX

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