Enable JavaScript to interact with content and submit forms on Wolfram websites. Learn how

FunctionMonotonicity

FunctionMonotonicity[f,x]

变量 x 为实数，求函数 f 的单调性.

FunctionMonotonicity[f,x,dom]

x 被限制在域 dom 内，求 f 的单调性.

FunctionMonotonicity[{f,cons},x,dom]

当 x 别于是条件 cons 限制时给出 f 的单调性.

更多信息和选项

单调性亦称为递增、递减、非递增、非递减、严格递增、严格递减.
默认情况下，可使用以下定义：

		+1	非递减，即对于所有的，
		0	恒定，即对于所有的，
		-1	非递增，即对于所有的，
		Indeterminate	既不是非递减，也不是非递增

常数函数既是非递减，也是非递增的.
如果设置 StrictInequalitiesTrue，可使用以下定义：
+1 递增，即对于所有的，

-1 递减，即对于所有的，

Indeterminate 既非递减，亦非递增
dom 的可能的值包括：Reals、Integers、PositiveReals、PositiveIntegers 等. 默认值为 Reals.
对于 dom 中满足约束条件 cons 的所有 x，f 应为实值函数.
cons 可以包含等式、不等式或它们的逻辑组合.
可给出以下选项：

	Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
	GenerateConditions	True	是否生成关于参数的条件
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优先考虑速度还是质量
	StrictInequalities	True	是否要求严格单调

GenerateConditions 的可能的设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置为 "Speed" 和 "Quality".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

求函数的单调性：

变量受约束条件限制的情况下求函数的单调性：

求函数在整数上的单调性：

范围 (5)

不受限制的实数上的单调性：

非实值函数的单调性为 Indeterminate：

下面的函数为实值函数，对于正的单调性为递增：

变量受约束条件限制的情况下的单调性：

函数的严格单调性：

非递减，但不是严格递增. 严格递增：

含有符号参数的函数：

选项 (5)

Assumptions (1)

FunctionMonotonicity 给出有条件的答案：

查看取其他值时函数的单调性：

GenerateConditions (2)

默认情况下，FunctionMonotonicity 可能会对符号参数生成条件：

如果设置 GenerateConditionsNone，FunctionMonotonicity 会失败，而不是给出有条件的结果：

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

默认情况下，报告所有的条件：

如果设置 GenerateConditionsAutomatic，不报告通常为真的条件：

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

StrictInequalities (1)

默认情况下，FunctionMonotonicity 计算的是非严格单调性：

如果设置 StrictInequalitiesTrue，FunctionMonotonicity 计算严格单调性：

Ramp[x]+1 非递减，但不是严格递增. Ramp[x]+x 严格递增：

应用 (19)

基本应用 (5)

对于正实数，正的幂都是非递减的：

下式说明所有这样的函数都是非递减的：

实际上它们都是递增的：

对于正实数，负的幂都是非递增的：

下式说明所有这样的函数都是递减的：

时，指数函数是递增的，时是递减的：

三角函数在实数上是非单调的：

但在小范围内是单调的：

非递减，但不是递增：

组合函数的情况 (5)

具有单调性的函数之和仍然具有单调性：

和具有相同的单调性：

非负非递减函数的积是非递减函数：

它们的积也是非递减的：

非递减函数的复合函数是非递减函数：

它们的复合函数也是非递减的：

递增函数的逆函数是递增函数：

反函数也是递增的：

非递减函数在区间上的值域是：

为了比较，用 FunctionRange 计算值域：

微积分 (4)

证明在时有极限：

时，非递减，并上有界：

在处的极限等于的上确界：

证明是收敛的：

级数的项非负，因此部分和是递增的：

部分和上有界，因此级数收敛：

用 Sum 计算级数的和：

如果非负，则是关于的非递减函数：

将一个可微函数写成一个递增函数和一个递减函数的和：

检查是否需要用常数调整函数：

测试和的单调性：

概率 (3)

CDF 总是非递减函数：

SurvivalFunction 总是非递增的：

Quantile 在上总是非递减：

解方程和优化 (2)

如果在上递增且连续，并有，则在上只有一个根：

用 Solve 求根：

是非递减函数，计算的最大值：

计算的最大值：

的最大值是，在处取得最大值：

为了比较，直接计算最大值：

属性和关系 (2)

非递减函数的和及组成的复合函数仍然是非递减函数：

非递减函数的导数非负：

用 D 计算导数：

用 FunctionSign 验证导数非负：

绘制函数和导数：

可能存在的问题 (1)

函数必须处处有定义才可以是单调的：

顶部