GroebnerBasis

GroebnerBasis[{poly1,poly2,…},{x1,x2,…}]

给出一列多项式，这些多项式构成多项式 polyi 的 Gröbner 基.

GroebnerBasis[{poly1,poly2,…},{x1,x2,…},{y1,y2,…}]

找到一个 Gröbner 基，且这个基中不包含 yi.

更多信息和选项

  • Gröbner 基中的多项式与原来的多项式具有相同的解集.
  • 在一元多项式中，GroebnerBasis 化简为 PolynomialGCD.
  • 对多元的线性函数，GroebnerBasis 等价于高斯消去法.
  • 一般说来，Gröbner 基依赖于分配给单项的顺序. 这个顺序受到 xi 的顺序的影响.
  • 可以使用下列选项：
  • MonomialOrder Lexicographic对单项排序所使用的准则
    CoefficientDomain Automatic被假定为系数的对象的类型
    Method Automatic使用的方式
    Modulus 0数值系数的模数
  • 可能的 MonomialOrder 设置是 Lexicographic、DegreeLexicographic、 DegreeReverseLexicographic、 EliminationOrder 或一个显式的加权矩阵. MonomialOrder 所使用的单项式通过 xi 所在的指数构成的列表来指定.
  • xi 的顺序和 MonomialOrder 设置能对 GroebnerBasis 的效率产生实质性影响.
  • CoefficientDomain 的可能设置是 InexactNumbers、Rationals、RationalFunctions 以及 Polynomials[x].
  • Method 选项的可能设置包括 "Buchberger" 和 "GroebnerWalk".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (1)

计算一个 Gröbner 基：

证明多项式没有共同根：

范围  (5)

具有有限共同根的多项式：

具有无限共同根的多项式：

无共同根的多项式：

消除变量：

字典序 Gröbner 基：

分次反向字典序 Gröbner 基：

推广和延伸  (1)

可以给出多项式方程替代多项式：

选项  (8)

CoefficientDomain  (1)

在默认情况下，Gröbner 基在有理数域上计算：

这里在整数环上计算 Gröbner 基：

这里在有理数域 (a) 上计算 Gröbner 基：

这里使用近似算法：

Method  (2)

Automatic 方法设置对于有理数域上的一个字典序使用 "GroebnerWalk"：

在这个例子中，"Buchberger" 方法的速度较 "GroebnerWalk" 低：

对字典序 Gröbner 基，这些多项式是“关闭”的：

这个 "GroebnerWalk" 方法首先颠倒字典序再计算：

这里用 "Buchberger" 方法直接计算字典序基更快：

Modulus  (1)

计算在整数模7域内的 Gröbner 基 ：

MonomialOrder  (1)

在缺省情况下，GroebnerBasis 用 Lexicographic 单项序：

这里以 DegreeReverseLexicographic 单项序给出 Gröbner 基：

通过一个满秩平方有理数的权重矩阵来指定单项序：

为了次序方便查找，每列的第一个非零项必须是正数：

消去 z 并返回对应 {x,y} 的分次字典序集：

ParameterVariables  (1)

在所有其它变量后，参数按字典排序：

这是一个等价输入：

Sort  (1)

在缺省情况下，GroebnerBasis 不允许重排序变量：

重新排序变量计算可能会更快；Gröbner 基可能不同：

Tolerance  (1)

求成对的单变量多项式的一个近似最大公约数：

对整数系数的多项式是关闭的：

缺省设置 Tolerance->0，近似的最大公约数有太低的次：

提高 Tolerance 的设置，GroebnerBasis 给出一个更好的近似最大公约数：

应用  (2)

求解一个多项式方程组：

一个 Gröbner 基具有相同的根集，作为输入多项式：

求 Gröbner 基仅对于变量 x 的第一个多项式：

求 Gröbner 基对另一个变量 y 的第二个多项式：

这个方法求 polys 所有共同根：

Reduce 和 Solve 用 Gröbner 基求解方程：

获得一个超定方程组的模糊解：

这里给出多项式超定集合的低精度近似值：

属性和关系  (6)

一个 Gröbner 基产生和输入多项式相同的理想数：

用 PolynomialReduce 显示 p1 是由 g1 和 g2 产生的理想数：

通过 Hilbert 的 Nullstellensatz，如果理想是 则多项式没有共同零：

Reduce 或 Solve 证明这里没有共同解：

相反的如果理想非 ，则这里至少有 1 个共同零：

用 FindInstance 求一个实解：

单变量多项式的 GroebnerBasis 等价于计算 PolynomialGCD：

线性多项式的 GroebnerBasis 等价于一个高斯消除过程：

GroebnerBasis 用于求解多项式方程组：

用 Reduce 直接求解方程组：

Solve 按替代规则给出解：

从多项式方程组中消除一个变量：

用 Resolve 消除一个变量：

用 Eliminate 消除一个变量：

用 Resultant 消除变量：

Wolfram Research (1991)，GroebnerBasis，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html （更新于 2007 年）.

文本

Wolfram Research (1991)，GroebnerBasis，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html （更新于 2007 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1991. "GroebnerBasis." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html.

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Wolfram 语言. (1991). GroebnerBasis. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html 年

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